Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh : $|\frac{a+b}{a-b}| + |\frac{b+c}{b-c}| + |\frac{c+a}{c-a}| \geq 2$

bất đẳng thức gtln gtnn

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
HoangYen2k

HoangYen2k

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 3 Bài viết

Cho $a,b,c$ là 3 số thực phân biệt. Chứng minh : $|\frac{a+b}{a-b}| + |\frac{b+c}{b-c}| + |\frac{c+a}{c-a}| \geq 2$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 28-05-2016 - 17:32


#2
nguyengoldz

nguyengoldz

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 32 Bài viết

Đặt $x=\frac{a+b}{a-b}$, tương tự với y,z.

Dễ thấy: $\prod (x+1) = \prod (x-1)$

$\leftrightarrow \sum xy=-1$

Gọi biểu thức đề bài là P. Ta cần CM: $P^2 \geq 4$

Ta có: $P^2=\sum x^2+2\sum | xy |$

Vì $(\sum x)^2 \geq 0 \rightarrow \sum x^2 \geq -2\sum xy = 2 (1)$

Lại có: $\sum | xy | \geq |\sum xy | = 1$

Nhân 2 vế với 2 rồi cộng với (1) ta có đpcm


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyengoldz: 30-05-2016 - 16:47






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bất đẳng thức, gtln, gtnn

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh