Cho $a,b,c$ là 3 số thực phân biệt. Chứng minh : $|\frac{a+b}{a-b}| + |\frac{b+c}{b-c}| + |\frac{c+a}{c-a}| \geq 2$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 28-05-2016 - 17:32
Đặt $x=\frac{a+b}{a-b}$, tương tự với y,z.
Dễ thấy: $\prod (x+1) = \prod (x-1)$
$\leftrightarrow \sum xy=-1$
Gọi biểu thức đề bài là P. Ta cần CM: $P^2 \geq 4$
Ta có: $P^2=\sum x^2+2\sum | xy |$
Vì $(\sum x)^2 \geq 0 \rightarrow \sum x^2 \geq -2\sum xy = 2 (1)$
Lại có: $\sum | xy | \geq |\sum xy | = 1$
Nhân 2 vế với 2 rồi cộng với (1) ta có đpcm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyengoldz: 30-05-2016 - 16:47
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\frac{19}{20} \leq \sum \frac{1}{1+a+b^2} \leq \frac{27}{20}$Bắt đầu bởi Duc3290, 12-03-2024 bất đẳng thức, hoán vị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum a^2b + abc +\frac{1}{2}abc(3-\sum ab) \leq 4$Bắt đầu bởi Duc3290, 25-02-2024 bất đẳng thức, hoán vị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{a_1{}}{({a_1+{a_2+...+a_n{}{}}{}})-{a_1{}}}\geq \frac{n}{n-1}$Bắt đầu bởi Khanh12321, 14-02-2024 bất đẳng thức |
|
|||
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Bất đẳng thức - Cực trị →
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+3 \ge 2(a+b+c)$Bắt đầu bởi POQ123, 26-01-2024 bất đẳng thức |
|
||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{1}{\sqrt{a^{5}+b^{2}+ab+6}}\leq 1$Bắt đầu bởi Hahahahahahahaha, 21-01-2024 bất đẳng thức |
|
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh