Cho các số thực dương a, b thỏa mãn a+b=4ab.
CMR: $\frac{a}{4b^{2}+1}+\frac{b}{4a^{2}+1}\geq \frac{1}{2}$
Cho các số thực dương a, b thỏa mãn a+b=4ab.
CMR: $\frac{a}{4b^{2}+1}+\frac{b}{4a^{2}+1}\geq \frac{1}{2}$
Cho các số thực dương a, b thỏa mãn a+b=4ab.
CMR: $\frac{a}{4b^{2}+1}+\frac{b}{4a^{2}+1}\geq \frac{1}{2}$
Đổi biến:
$$(a,b)\rightarrow (\frac{1}{x},\frac{1}{y})$$
Từ giả thiết suy ra:
$$x+y=4$$
Ta có: BĐT cần CM tương đương với:
$$\frac{\frac{1}{x}}{\frac{4}{y^2}+1}+\frac{\frac{1}{y}}{\frac{4}{x^2}+1}\geq \frac{1}{2}$$
$$\Leftrightarrow \frac{y^2}{x(4+y^2)}+\frac{x^2}{y(4+x^2)}\geq \frac{1}{2}(1)$$
Áp dụng BĐT $Schwarz,$ ta có:
$$\sum \frac{x^2}{y(4+x^2)}\geq \frac{(x+y)^2}{4(x+y)+xy^2+x^2y}=\frac{16}{16+xy^2+x^2y}$$
Ta chỉ cần chứng minh:
$$xy^2+x^2y\leq 16\Leftrightarrow xy^2+x^2y\leq \frac{1}{4}(x+y)^3\Leftrightarrow xy^2+x^2y\leq x^3+y^3, \text{luôn đúng}$$
Do đó $(1)$ đúng. BĐT được chứng minh. Dấu $"="$ xảy ra khi $x=y=2\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}$
$\color{red}{\mathrm{\text{How I wish I could recollect, of circle roud}}}$
$\color{red}{\mathrm{\text{The exact relation Archimede unwound ! }}}$
Ta có $\frac{a}{{4{b^2} + 1}} + \frac{b}{{4{a^2} + 1}} \ge \frac{1}{2} \Leftrightarrow 8\left( {{a^3} + {b^3}} \right) + 2\left( {a + b} \right) \ge 16{a^2}{b^2} + 4\left( {{a^2} + {b^2}} \right) + 1$.
Ta có $8\left( {{a^3} + {b^3}} \right) + 2\left( {a + b} \right) = 4\left( {{a^3} + {b^3}} \right) + \left( {4{a^3} + a} \right) + \left( {4{b^3} + b} \right) + \left( {a + b} \right)$.
${a^3} + {b^3} \ge ab\left( {a + b} \right) = ab.4ab = 4{a^2}{b^2} \Rightarrow 4\left( {{a^3} + {b^3}} \right) \ge 16{a^2}{b^2}$.
$4{a^3} + a \ge 4{a^2};\,\,4{b^3} + b \ge 4{b^2} \Rightarrow \left( {4{a^3} + a} \right) + \left( {4{b^3} + b} \right) \ge 4\left( {{a^2} + {b^2}} \right)$.
$a + b = 4ab \le {\left( {a + b} \right)^2} \Rightarrow a + b \ge 1$.
Do đó: $8\left( {{a^3} + {b^3}} \right) + 2\left( {a + b} \right) = 4\left( {{a^3} + {b^3}} \right) + \left( {4{a^3} + a} \right) + \left( {4{b^3} + b} \right) + \left( {a + b} \right) \ge 16{a^2}{b^2} + 4\left( {{a^2} + {b^2}} \right) + 1$. Xong!
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh