Đến nội dung


Hình ảnh

Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Cmr: $\sum \frac{(a+b^2)}{c^2+ab}\ge 6$

bdt

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 10 trả lời

#1 TanSan26

TanSan26

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 54 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\boxed{DNYD}$

Đã gửi 07-06-2016 - 08:22

Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Cmr:

$\sum \frac{(a+b)^2}{c^2+ab}\ge 6$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TanSan26: 07-06-2016 - 08:29

                                                                                                                                                                                                                                                A vẩu


#2 tungteng532000

tungteng532000

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 174 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Đá bóng, inequality

Đã gửi 07-06-2016 - 10:57

Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Cmr:

$\sum \frac{(a+b)^2}{c^2+ab}\ge 6$

Áp dụng bđt Cauchy-Schwarz, ta được:
$\sum \frac{(a+b)^2}{c^2+ab}=\sum \frac{(a+b)^4}{(a+b)^2(c^2+ab)}\geq \frac{((a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2)^2}{(a+b)^2(c^2+ab)+(b+c)^2(a^2+bc)+(c+a)^2(b^2+ca)}\geq 6$
$\Leftrightarrow 4(\sum a^2+\sum ab)^2\geq 6(4\sum a^2b^2+(\sum ab)(\sum a^2)+abc(\sum a))$
Rút gọn, ta được:
$2\sum a^4+2abc\sum a+\sum ab(a^2+b^2)\geq 6\sum a^2b^2$
Theo bđt Schur bậc 4, ta có: 
$2\sum a^4+2abc\sum a\geq \sum ab(a^2+b^2)$
Theo bđt AM-GM, ta có:
$3\sum ab(a^2+b^2)\geq 6\sum a^2b^2$
Đẳng thức xảy ra khi a=b=c. 


                                              Lời giải hay thì like nhé :))
FB: 
https://www.facebook...oylanh.lung.564


#3 Nam Duong

Nam Duong

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 105 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 07-06-2016 - 11:58

Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Cmr:

$\sum \frac{(a+b)^2}{c^2+ab}\ge 6$

chuẩn hóa $\sum a^2=3$

bđt $\leftrightarrow \sum \frac{1-c^2}{c^2+3} \ge 0$

vì bđt đối xứng nên giả sử $a \ge b \ge c$

$\rightarrow 1-c^2 \ge 1-b^2 \ge 1-a^2$ và $\frac{1}{3+c^2} \ge \frac{1}{3+b^2} \ge \frac{1}{3+a^2}$

áp dụng $Chebyshev$ cho $2$ bộ đơn điệu cùng chiều trên ta có đpcm


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nam Duong: 07-06-2016 - 19:38


#4 tungteng532000

tungteng532000

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 174 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Đá bóng, inequality

Đã gửi 07-06-2016 - 14:04

chuẩn hóa $\sum a=3$

bđt $\leftrightarrow \sum \frac{(3-c)^2}{c^2+ab} \ge \sum (4-\frac{16c^2}{5c^2-6c+9}) \ge 6$

do đó cần cm $4-\frac{16c^2}{5c^2-6c+9} \ge 5-3c \leftrightarrow (c-1)^2(5c-3) \ge 0$ luôn đúng với mọi $c \in [0;1]$

thiết lập các bđt tương tự rồi cộng lại ta được đpcm

5c-3 luôn >=0 đâu  :lol:


                                              Lời giải hay thì like nhé :))
FB: 
https://www.facebook...oylanh.lung.564


#5 Nam Duong

Nam Duong

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 105 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 07-06-2016 - 16:51

5c-3 luôn >=0 đâu  :lol:

mình sửa lại rồi  :icon6:



#6 tungteng532000

tungteng532000

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 174 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Đá bóng, inequality

Đã gửi 08-06-2016 - 07:46

chuẩn hóa $\sum a^2=3$

bđt $\leftrightarrow \sum \frac{1-c^2}{c^2+3} \ge 0$

vì bđt đối xứng nên giả sử $a \ge b \ge c$

$\rightarrow 1-c^2 \ge 1-b^2 \ge 1-a^2$ và $\frac{1}{3+c^2} \ge \frac{1}{3+b^2} \ge \frac{1}{3+a^2}$

áp dụng $Chebyshev$ cho $2$ bộ đơn điệu cùng chiều trên ta có đpcm

Bạn biến đổi cái dòng đầu tiên kiểu gì thế ?  :mellow:


                                              Lời giải hay thì like nhé :))
FB: 
https://www.facebook...oylanh.lung.564


#7 Nam Duong

Nam Duong

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 105 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 08-06-2016 - 09:54

Bạn biến đổi cái dòng đầu tiên kiểu gì thế ?  :mellow:

$\frac{(a+b)^2}{c^2+ab}-2=\frac{3-c^2+2ab-2c^2-2ab}{c^2+ab} \ge \frac{6(1-c^2)}{c^2+3}$



#8 tungteng532000

tungteng532000

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 174 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Đá bóng, inequality

Đã gửi 08-06-2016 - 10:24

$\frac{(a+b)^2}{c^2+ab}-2=\frac{3-c^2+2ab-2c^2-2ab}{c^2+ab} \ge \frac{6(1-c^2)}{c^2+3}$

Cho $c=\sqrt{2},b=a=\frac{1}{\sqrt{2}}$ thì $\frac{3(1-c^2)}{c^2+ab}-\frac{3(1-c^2)}{c^2+3}=\frac{-3}{5}<0$  :icon6: 
 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tungteng532000: 08-06-2016 - 10:25

                                              Lời giải hay thì like nhé :))
FB: 
https://www.facebook...oylanh.lung.564


#9 Nam Duong

Nam Duong

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 105 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 08-06-2016 - 10:32

Cho $c=\sqrt{2},b=a=\frac{1}{\sqrt{2}}$ thì $\frac{3(1-c^2)}{c^2+ab}-\frac{3(1-c^2)}{c^2+3}=\frac{-3}{5}<0$  :icon6: 
 

bạn coi lại cái bôi đỏ đi

nếu cho $c^2=2,6$ thì sai thật  :icon6:


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nam Duong: 08-06-2016 - 10:45


#10 tungteng532000

tungteng532000

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 174 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Đá bóng, inequality

Đã gửi 08-06-2016 - 13:24

bạn coi lại cái bôi đỏ đi

nếu cho $c^2=2,6$ thì sai thật  :icon6:

Thế là bạn làm sai à ?  :lol:


                                              Lời giải hay thì like nhé :))
FB: 
https://www.facebook...oylanh.lung.564


#11 Nguyenhuyen_AG

Nguyenhuyen_AG

    Trung úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 945 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 28-06-2016 - 12:12

Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Cmr:

$\sum \frac{(a+b)^2}{c^2+ab}\ge 6$

Ta có đẳng thức

\[\sum {\frac{{{{\left( {b + c} \right)}^2}}}{{{a^2} + bc}}}  - 6 = \frac{\displaystyle {{{\left( {a - b} \right)}^2}{{\left( {b - c} \right)}^2}{{\left( {c - a} \right)}^2} + \sum {ab{{\left( {{a^2} - {b^2}} \right)}^2}} }}{{\left( {{a^2} + bc} \right)\left( {{b^2} + ca} \right)\left( {{c^2} + ab} \right)}}.\] Từ đó suy ra điều phải chứng minh.


Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University Of Transport





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh