Chủ đề này có 3 trả lời

[cristianoronaldo]

Bài 1:Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn abc=1. Cmr:

$\sum \frac{1}{(1+a)^2}+\frac{1}{a+b+c+1}\geq 1$

Bài 2:Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=ab+bc+ca. Cmr;

$a+b+c\geq \sqrt{\frac{a^2+1}{2}}+\sqrt{\frac{b^2+1}{2}}+\sqrt{\frac{c^2+1}{2}}$

Bài 3:Cho a,b,c là các số thực dương.Cmr:

$\frac{1}{2a+b}+\frac{1}{2b+c}+\frac{1}{2c+a}\geq \frac{2}{\sqrt[3]{(a+b)(b+c)(c+a)}}$

Bài 4:Cho a,b,c là các số thực dương. Cmr:

$2\sqrt{2}(a+b+c)\geq \sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}+3\sqrt{2}\sqrt[3]{abc}$

                                    _The End_

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi cristianoronaldo: 09-06-2016 - 10:09

[cristianoronaldo]

Bài 1:Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn abc=1. Cmr:

$\sum \frac{1}{(1+a)^2}+\frac{1}{a+b+c+1}\geq 1$

Bài 2:Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=ab+bc+ca. Cmr;

$a+b+c\geq \sqrt{\frac{a^2+1}{2}}+\sqrt{\frac{b^2+1}{2}}+\sqrt{\frac{c^2+1}{2}}$

Bài 3:Cho a,b,c là các số thực dương.Cmr:

$\frac{1}{2a+b}+\frac{1}{2b+c}+\frac{1}{2c+a}\geq \frac{2}{\sqrt[3]{(a+b)(b+c)(c+a)}}$

Bài 4:Cho a,b,c là các số thực dương. Cmr:

$2\sqrt{2}(a+b+c)\geq \sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}+3\sqrt{2}\sqrt[3]{abc}$

                                    _The End_

Bài 1 thì mình vẫn chưa biết làm .Đề thầy giáo cho khó quá

Bài 4:

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:

$3\sqrt{2}\sqrt[3]{abc}\leq \sqrt{2}.(\sum \sqrt{ab})$

Bài toán được quy về chứng minh:

$\sum \sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{2}.(\sum \sqrt{ab})\leq 2\sqrt{2}(\sum a) \Leftrightarrow \sum (\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{2ab})\leq 2\sqrt{2}(\sum a)$

Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:

$\sum (\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{2ab})\leq \sum \sqrt{2[(a^2+b^2)+2ab]}= 2\sqrt{2}(\sum a)$

Dấu ''='' xảy ra khi  a=b=c

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi cristianoronaldo: 09-06-2016 - 17:07

[kisi]

. Vậy mình xin chém bài 1 nhé, sau khi làm xong cảm thấy mình thật trâu bò :v

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

$\frac{q^2+2pq+2p^2+2p-3}{(2+p+q)^2}+\frac{1}{p+1}\geq 1$

Với $p=a+b+c, q=ab+bc+ca$

$\frac{q^2+2pq+2p^2+2p-3}{(2+p+q)^2}+\frac{1}{p+1}= \frac{(q+p+2)^2+p^2-4q-2p-7}{(2+p+q)^2}+\frac{1}{p+1}\geq 1+\frac{p^2-4q-2p-7}{(2+p+q)^2}+\frac{1}{p+1}$

Mà:

$\frac{p^2-4q-2p-7}{(2+p+q)^2}+\frac{1}{p+1}=\frac{p^3-2pq-5p+q^2-3}{(2+p+q)^2(p+1)}=\frac{(p-q)^2+(p-3)(p+1)^2}{(2+p+q)^2(p+1)}\geq 0$

Ta có điều phải chứng minh dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$

[KietLW9]

Bài 3:Cho a,b,c là các số thực dương.Cmr:

$\frac{1}{2a+b}+\frac{1}{2b+c}+\frac{1}{2c+a}\geq \frac{2}{\sqrt[3]{(a+b)(b+c)(c+a)}}$

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương: $(a+b+c)(\frac{1}{2a+b}+\frac{1}{2b+c}+\frac{1}{2c+a})\geqslant \frac{2(a+b+c)}{\sqrt[3]{(a+b)(b+c)(c+a)}}$

$\Leftrightarrow (\frac{a}{2b+c}+\frac{b}{2c+a}+\frac{c}{2a+b})+\frac{1}{2}(\frac{b}{2a+b}+\frac{c}{2b+c}+\frac{a}{2c+a})+\frac{3}{2}\geqslant \frac{2(a+b+c)}{\sqrt[3]{(a+b)(b+c)(c+a)}}$

Dễ có: $(\frac{a}{2b+c}+\frac{b}{2c+a}+\frac{c}{2a+b})+\frac{1}{2}(\frac{b}{2a+b}+\frac{c}{2b+c}+\frac{a}{2c+a})+\frac{3}{2}\geqslant \frac{(a+b+c)^2}{3(ab+bc+ca)}+2\geqslant 3\sqrt[3]{\frac{(a+b+c)^2}{3(ab+bc+ca)}}$

Đến đây ta cần chứng minh: $3\sqrt[3]{\frac{(a+b+c)^2}{3(ab+bc+ca)}}\geqslant \frac{2(a+b+c)}{\sqrt[3]{(a+b)(b+c)(c+a)}}\Leftrightarrow \frac{9}{8}(a+b)(b+c)(c+a)\geqslant (a+b+c)(ab+bc+ca)$

Bất đẳng thức cuối luôn đúng nên ta có điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$