Đến nội dung

Hình ảnh

Đề thi vào lớp 10 chuyên Lương Thế Vinh Đồng Nai năm 2016-2017

đề thi tuyển sinh lớp 10

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 9 trả lời

#1
the unknown

the unknown

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 208 Bài viết

Sở giáo dục và đào tạo Đồng Nai

Kì thi tuyển sinh vào lớp 10

Năm học 2016-2017

Môn thi: Toán Chuyên

Thời gian làm bài: 150 phút

Câu 1. (1,5 điểm): Cho biểu thức $A=\frac{x}{x-4}+\frac{1}{\sqrt{x}-2}+\frac{1}{\sqrt{x}+2}$, với $x\geq 0,x\neq 4$.

   a) Rút gọn $A$

   b) Tìm $x$ để $A=\frac{5}{4}$

 

Câu 2. (1,5 điểm): Cho phương trình $x^2-mx+m-2=0$, trong đó $m$ là tham số.

   1) Chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi $m$.

   2) Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm $x_1,x_2$ thỏa $x_1-x_2=2\sqrt{5}$.

 

Câu 3. (2,0 điểm): Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa $a+b+c=3$.

   1) Chứng minh rằng: $ab+bc+ca\leq 3$.

   2) Chứng minh rằng: $a^2b+b^2c+c^2a\leq 4$.

 

Câu 4. (1,5 điểm) : Cho tam giác $ABC$ có bán kính đường tròn nội tiếp $r$ và độ dài các đường cao là $x,y,z$.

   1) Chứng minh rằng: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{r}$.

   2) Cho biết $r=1$ và $x,y,z$ là các số nguyên dương. Chứng minh tam giác $ABC$ đều.

 

Câu 5. (3,5 điểm) Từ điểm $M$ nằm ngoài đường tròn $(\omega )$ tâm $O$, vẽ đến $(\omega )$ hai tiếp tuyến $MA,MB$ và cát tuyến $MCD$, $C$ nằm giữa $M$ và $D$. Gọi $H$ là giao điểm $MO$ và $AB$.

   1) Chứng minh: $MA^2=MC.MD$

   2) Chứng minh: Tứ giác $CDOH$ nội tiếp.

   3) Chứng minh: Đường thẳng $AB$ và hai tiếp tuyến của $(\omega )$ tại $C$ và $D$ đồng qui.

   4) Đường thẳng $CH$ cắt $(\omega )$ tại điểm thứ hai $E\neq C$. Chứng minh: $AB\parallel DE$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Zaraki: 10-06-2016 - 14:32

$\texttt{If you don't know where you are going, any road will get you there}$


#2
O0NgocDuy0O

O0NgocDuy0O

    Trung úy

  • Thành viên
  • 760 Bài viết

Câu 4:

1)Dễ dàng chứng minh: $S=\frac{1}{2}.r(a+b+c)$

Mặt khác: $S=\frac{1}{2}ax=\frac{1}{2}by=\frac{1}{2}cz\Rightarrow \sum \frac{1}{x}=\frac{1}{2}.\frac{a+b+c}{S}=\frac{1}{r}$

2)$WLOG, G/S: x\geq y\geq z\Rightarrow 1\leq \frac{3}{z}\Rightarrow z\in {1;2;3}$.............................

Cuối cùng ra các cặp: $(3;3;3),(2;4;4),(2;3;6)$ Nhưng loại 2 cặp: $(2;4;4),(2;3;6)$

Chẳng hạn: $(2;4;4)\Rightarrow a=\frac{1}{2}(a+b+c)\Rightarrow a=b+c(VL)$

Tượng tự thì $x=y=z=3$ nên tam giác $ABC$ đều.

P/s: ai làm câu 2) bài bất giùm cái !!!


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi O0NgocDuy0O: 10-06-2016 - 11:33

"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")

~O)  ~O)  ~O)


#3
the unknown

the unknown

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 208 Bài viết

Câu 3.2:

Không giảm tính tổng quát giả sử $b$ là số nằm giữa $a$ và $c$. Khi đó ta có: $c(c-b)(b-a)\geq 0\Leftrightarrow b^2c+c^2a\leq abc+c^2b\Rightarrow a^2b+b^2c+c^2a\leq b(a^2+ac+c^2)\leq b(a+c)^2$

( do $a\geq b\geq c\geq 0$ )

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho $3$ số ta có:

$b(a+c)^2=\frac{4}{27}.27.b.\frac{a+c}{2}.\frac{a+c}{2}\leq \frac{4}{27}(b+2.\frac{a+c}{2})^3= \frac{4}{27}(a+b+c)^3=4$.

Vậy ta có điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi $a=2,b=1,c=0$.

 

Một mở rộng quen thuộc của bài toán này:

Spoiler

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi the unknown: 15-06-2016 - 15:34

$\texttt{If you don't know where you are going, any road will get you there}$


#4
nntien

nntien

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 372 Bài viết

 

Câu 5. (3,5 điểm) Từ điểm $M$ nằm ngoài đường tròn $(\omega )$ tâm $O$, vẽ đến $(\omega )$ hai tiếp tuyến $MA,MB$ và cát tuyến $MCD$, $C$ nằm giữa $M$ và $D$. Gọi $H$ là giao điểm $MO$ và $AB$.

   1) Chứng minh: $MA^2=MC.MD$

   2) Chứng minh: Tứ giác $CDOH$ nội tiếp.

   3) Chứng minh: Đường thẳng $AB$ và hai tiếp tuyến của $(\omega )$ tại $C$ và $D$ đồng qui.

   4) Đường thẳng $CH$ cắt $(\omega )$ tại điểm thứ hai $E\neq C$. Chứng minh: $AB\parallel DE$

 

a. Xét hai tam giác đồng dạng MCA, MAD => đpcm

b. Tam giác vuông OAM có AH là đường cao => $MH.MO=MA^2=MC.MD$ => $\frac{MH}{MC}=\frac{MD}{MO}$ => tam giác MHD đồng dạng với tam giác MDO => đpcm

c. Gọi N là giao điểm của hai tiếp tuyến tại D, C=> ODNC nội tiếp đường tròn đường kính ON và theo câu b => OH vuông góc với NH mà AH vuông góc với OH => H, A, N thẳng hàng => đpcm

4. Ta có ND=NC => HN là phân giác của góc DHC =>  $2\angle AHC = \angle DHC = \angle DOC = 2 \angle DEC$ => $\angle AHC = \angle DEC$ => đpcm.

Hình gửi kèm

  • ChuyenLTV-DN.jpg

$Maths$$Smart Home$ and $Penjing$

123 Phạm Thị Ngư


#5
I Love MC

I Love MC

    Đại úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1861 Bài viết

Câu 3.2:

Không giảm tính tổng quát giả sử: $a\geq b\geq c\geq 0$. Khi đó ta có: $c(c-b)(b-a)\geq 0\Leftrightarrow b^2c+c^2a\leq abc+c^2b\Rightarrow a^2b+b^2c+c^2a\leq b(a^2+ac+c^2)\leq b(a+c)^2$

( do $a\geq b\geq c\geq 0$ )

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho $3$ số ta có:

$b(a+c)^2=\frac{4}{27}.27.b.\frac{a+c}{2}.\frac{a+c}{2}\leq \frac{4}{27}(b+2.\frac{a+c}{2})^3= \frac{4}{27}(a+b+c)^3=4$.

Vậy ta có điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi $a=2,b=1,c=0$.

 

Một mở rộng quen thuộc của bài toán này:

Spoiler

Bất đẳng thức Vas :) 



#6
anhminhnam

anhminhnam

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 155 Bài viết

Góp vui, cơ mà các bác trên giải bá quá @@

Câu 1: a) $A=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}$

b) Giải bậc 2 thu được $x=100$

Câu 2:$\Delta > 0\Leftrightarrow m^2-4m+8> 0$ hiển nhiên

b) $x_{1}-x_{2}>0 \Rightarrow x_{1}=\frac{m+\sqrt{\Delta }}{2}; x_{1}=\frac{m-\sqrt{\Delta }}{2}\Rightarrow x_{1}-x_{2}=\sqrt{\Delta }=2\sqrt{5}\Leftrightarrow m^2-4m-12=0 \Leftrightarrow m=6$ hoặc $m=-2$

câu 3.1

$ab+bc+ca\leq a^2+b^2+c^2\Leftrightarrow ab+bc+ca\leq \frac{(a+b+c)^2}{3}=3$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anhminhnam: 10-06-2016 - 14:39

:like Nếu bạn muốn đến nơi cao nhất, phải học cách bắt đầu từ nơi thấp nhất!  :like 

 


#7
Oo Nguyen Hoang Nguyen oO

Oo Nguyen Hoang Nguyen oO

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 356 Bài viết

 

Sở giáo dục và đào tạo Đồng Nai

Kì thi tuyển sinh vào lớp 10

Năm học 2016-2017

Môn thi: Toán Chuyên

Thời gian làm bài: 150 phút

Câu 2. (1,5 điểm): Cho phương trình $x^2-mx+m-2=0$, trong đó $m$ là tham số.

   1) Chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi $m$.

   2) Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm $x_1,x_2$ thỏa $x_1-x_2=2\sqrt{5}$.

1) $\Delta = (m-2)^2+4>0$

Vậy...

2) Theo định lý $Vietè$, ta có: $\left\{\begin{matrix} x_{1}+x_{2}=m\\ x_{1}x_{2}=m-2 \end{matrix}\right.$

Suy ra: $(x_{1}-x_{2})^2=m^2-4(m-2)=m^2-4m+8=(2\sqrt{5})^2=20\Leftrightarrow m^2-4m-12=0\Leftrightarrow m\in \left \{ -2;6 \right \}$


Số hoàn hảo giống như người hoàn hảo, rất hiếm có.

Perfect numbers like perfect men, are very rare.

Rene Descartes

TỰ HÀO LÀ THÀNH VIÊN $\sqrt{MF}$

:icon6: :icon6: :icon6:


#8
kienvuhoang

kienvuhoang

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 202 Bài viết

Câu 3.2:

Không giảm tính tổng quát giả sử: $a\geq b\geq c\geq 0$. Khi đó ta có: $c(c-b)(b-a)\geq 0\Leftrightarrow b^2c+c^2a\leq abc+c^2b\Rightarrow a^2b+b^2c+c^2a\leq b(a^2+ac+c^2)\leq b(a+c)^2$

( do $a\geq b\geq c\geq 0$ )

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho $3$ số ta có:

$b(a+c)^2=\frac{4}{27}.27.b.\frac{a+c}{2}.\frac{a+c}{2}\leq \frac{4}{27}(b+2.\frac{a+c}{2})^3= \frac{4}{27}(a+b+c)^3=4$.

Vậy ta có điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi $a=2,b=1,c=0$.

 

Một mở rộng quen thuộc của bài toán này:

Spoiler

Bài này hoán vị vòng quang nên bạn chỉ có thể giả sử b nằm giữa a và c chứ không thể như phần màu đỏ được



#9
the unknown

the unknown

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 208 Bài viết

Bài này hoán vị vòng quang nên bạn chỉ có thể giả sử b nằm giữa a và c chứ không thể như phần màu đỏ được

ừ nhỉ mình nhầm, cám ơn bạn đã nhắc.


$\texttt{If you don't know where you are going, any road will get you there}$


#10
Hoang 0000

Hoang 0000

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 1 Bài viết

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang 0000: 19-11-2016 - 22:24






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: đề thi, tuyển sinh lớp 10

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh