Đến nội dung

Hình ảnh

CMR: $\sum \frac{1}{a} +\frac{9}{a+b+c} \geq 4\sum \frac{1}{a+b}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
nuoccam

nuoccam

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 200 Bài viết

Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác. CMR:

$\sum \frac{1}{a} +\frac{9}{a+b+c} \geq 4\sum \frac{1}{a+b}$



#2
anhquannbk

anhquannbk

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 477 Bài viết

Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác. CMR:

$\sum \frac{1}{a} +\frac{9}{a+b+c} \geq 4\sum \frac{1}{a+b}$

Ta có bất đẳng thức sau:

Bất đẳng thức $Popoviciu$: Cho $f$ là hàm lồi trên $I$ và $x, y, z \in I$. Khi đó ta có bất đẳng thức sau:

$ f(a) +f(b)+ f(c) +3f(\dfrac{a+b+c}{3}) \ge 2f(\dfrac{a+b}{2})+2f(\dfrac{b+c}{2}) +2f(\dfrac{a+c}{2})$

Hàm lồi được định nghĩa như sau:

Cho $x$ là số thực thuộc $(a;b)$ và $f(x)$ là hàm khả vi cấp hai.

Nếu $f''(x) \ge 0$ thì $f(x)$ gọi là hàm lồi trên $(a;b)$ còn nếu $f''(x) \le 0$ thì $f(x)$ gọi là hàm lõm trên $(a;b)$.

Áp dụng BĐT $Popoviciu$ với hàm $f(x)=\dfrac{1}{x} $ ta có đpcm.



#3
hoangson2598

hoangson2598

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 325 Bài viết

Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác. CMR:

$\sum \frac{1}{a} +\frac{9}{a+b+c} \geq 4\sum \frac{1}{a+b}$

Nhìn bạn bên trên giải mà sợ quá.

Bài này quy đồng lên là xong chứ sao.

Nhân 2 vế với (a+b+c) ta được:

$3+\sum \frac{a}{b}+\sum \frac{a}{c}+9\geq 4(3+\sum \frac{a}{b+c})\Leftrightarrow \sum (\frac{a}{b}+\frac{a}{c})\geq \sum \frac{4a}{b+c}$ (luôn đúng theo cosi)


                  :like  :like  :like  :like  :like  Thằng đần nào cũng có thể biết. Vấn đề là phải hiểu.    :like  :like  :like  :like  :like 

                                                                    

                                                                       Albert Einstein

 

                                        :icon6: My Facebookhttps://www.facebook...100009463246438  :icon6:


#4
nuoccam

nuoccam

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 200 Bài viết

Bài này đầu tiên thầy bảo bọn e làm theo cách dùng PP Tiếp tuyến nhưng mà thấy a hoangson2598 thế là đủ rồi  :D



#5
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác. CMR:

$\sum \frac{1}{a} +\frac{9}{a+b+c} \geq 4\sum \frac{1}{a+b}$

Lời giải. Chuẩn hóa $a+b+c=1$

Ta cần chứng minh: $(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})+9\geq 4(a+b+c)(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a})$

$\Leftrightarrow \frac{b}{a}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+12\geqslant 12+\frac{4a}{b+c}+\frac{4b}{c+a}+\frac{4c}{a+b}$

Đây là một bất đẳng thức đúng do: $\frac{b}{a}+\frac{b}{c}\geqslant \frac{4b}{c+a}$; $\frac{c}{a}+\frac{c}{b}\geqslant \frac{4c}{a+b}$; $\frac{a}{b}+\frac{a}{c}\geqslant \frac{4a}{b+c}$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh