Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh rằng với mọi số $n\ge 3$ ta có: $4F_{n-2}F_nF_{n+2}F_{n+4}+9$ là một số chính phương.

- - - - - số học

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
TanSan26

TanSan26

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 55 Bài viết

Giả sử $F_k$ là số hạng thứ $k$ của dãy $Fibinacy:1,1,2,3,...$. Chứng minh rằng với mọi số $n\ge 3$ ta có:

$4F_{n-2}F_nF_{n+2}F_{n+4}+9$ là một số chính phương. 


                                                                                                                                                                                                                                                A vẩu


#2
takarin1512

takarin1512

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 104 Bài viết

Đặt $\frac{1+\sqrt{5}}{2}=\alpha ;\frac{1-\sqrt{5}}{2}=\beta \Rightarrow \alpha \beta =-1$

Ta có $F_{n+1}^2=\frac{1}{5}\left ( \alpha ^{2n+2}+\beta ^{2n+2}-2\left ( -1 \right )^n \right )$

Xét $F_{n-2}F_{n+4}=\frac{1}{5}\left ( \alpha ^{n-2}-\beta ^{n-2} \right )\left ( \alpha ^{n+4}-\beta ^{n+4} \right )=\frac{1}{5}\left (\alpha ^{2n+2}+\beta ^{2n+2}- \left ( \alpha \beta \right )^{n-2}\left ( \alpha ^6+\beta ^6 \right ) \right )=\frac{1}{5}\left ( \alpha ^{2n+2}+\beta ^{2n+2}+18\left ( -1 \right )^{n+1} \right )=F_{n+1}^2+4\left ( -1 \right )^{n+1}$

$4F_{n-2}F_{n}F_{n+2}F_{n+4}+9=4\left ( F_{n+1}^2+4\left ( -1 \right )^{n-1} \right )\left ( F_{n+1}^2+\left ( -1 \right )^{n-1} \right )+9=4F_{n+1}^4+20\left ( -1 \right )^{n+1}F_{n+1}^2+25=\left ( 2F_{n+1}^2+5(-1)^{n+1} \right )^2$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi takarin1512: 12-06-2016 - 09:42






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: số học

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh