Giả sử $F_k$ là số hạng thứ $k$ của dãy $Fibinacy:1,1,2,3,...$. Chứng minh rằng với mọi số $n\ge 3$ ta có:
$4F_{n-2}F_nF_{n+2}F_{n+4}+9$ là một số chính phương.
Giả sử $F_k$ là số hạng thứ $k$ của dãy $Fibinacy:1,1,2,3,...$. Chứng minh rằng với mọi số $n\ge 3$ ta có:
$4F_{n-2}F_nF_{n+2}F_{n+4}+9$ là một số chính phương.
A vẩu
Đặt $\frac{1+\sqrt{5}}{2}=\alpha ;\frac{1-\sqrt{5}}{2}=\beta \Rightarrow \alpha \beta =-1$
Ta có $F_{n+1}^2=\frac{1}{5}\left ( \alpha ^{2n+2}+\beta ^{2n+2}-2\left ( -1 \right )^n \right )$
Xét $F_{n-2}F_{n+4}=\frac{1}{5}\left ( \alpha ^{n-2}-\beta ^{n-2} \right )\left ( \alpha ^{n+4}-\beta ^{n+4} \right )=\frac{1}{5}\left (\alpha ^{2n+2}+\beta ^{2n+2}- \left ( \alpha \beta \right )^{n-2}\left ( \alpha ^6+\beta ^6 \right ) \right )=\frac{1}{5}\left ( \alpha ^{2n+2}+\beta ^{2n+2}+18\left ( -1 \right )^{n+1} \right )=F_{n+1}^2+4\left ( -1 \right )^{n+1}$
$4F_{n-2}F_{n}F_{n+2}F_{n+4}+9=4\left ( F_{n+1}^2+4\left ( -1 \right )^{n-1} \right )\left ( F_{n+1}^2+\left ( -1 \right )^{n-1} \right )+9=4F_{n+1}^4+20\left ( -1 \right )^{n+1}F_{n+1}^2+25=\left ( 2F_{n+1}^2+5(-1)^{n+1} \right )^2$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi takarin1512: 12-06-2016 - 09:42
|
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
Chứng minh rằng $(a_{1}^{2}+1)(a_{2}^{2}+1)...(a_{2024}^{2}+1)$ không chia hết cho $(a_{1}.a_{2}...a_{2024})^2$Bắt đầu bởi Nguyentrongkhoi, 26-03-2024 số học |
|
||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
Chứng minh rằng $x^2 + y^2 + z^2 - 2(xy + yz + zx)$ là số chính phươngBắt đầu bởi Chuongn1312, 13-03-2024 toán olympic, số học |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
$\sum_{n\vdots d,d=2k+1}\varphi (d)2^{\frac{n}{d}} \hspace{0.2cm} \vdots \hspace{0.2cm} n$Bắt đầu bởi hovutenha, 08-03-2024 tổ hợp, số học |
|
|||
Solved
Toán Trung học Cơ sở →
Đại số →
$f(a)-f(b) \vdots a-b$Bắt đầu bởi Sa is very stupid and lazy, 17-01-2024 số học |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
$x^n+n \vdots p^m$Bắt đầu bởi trinhgiahuy2008, 15-01-2024 số học |
|
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh