Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh: $a^6$ chia 7 dư 1 (a>1)

toán chứng minh

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
trananhduong62

trananhduong62

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 81 Bài viết

Chứng minh: $a^6$ chia 7 dư 1 (a>1)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trananhduong62: 13-06-2016 - 20:25

trananhduong62 :icon6:  :icon6:  :icon6:  :ukliam2: GOOD!


#2
Baoriven

Baoriven

    Thượng úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 1422 Bài viết

Trước hết phải bổ sung điều kiên a không là bội của 7.

 Áp dụng định lý Fermat nhỏ ta được: $a^{p-1}\equiv 1(modp)$ p là số nguyên tố,(a;p)=1

Áp dụng với p=7 là ra


$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$


#3
SinCosTan

SinCosTan

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 19 Bài viết

Fermat nhỏ



#4
O0NgocDuy0O

O0NgocDuy0O

    Trung úy

  • Thành viên
  • 760 Bài viết

Trước hết phải bổ sung điều kiên a không là bội của 7.

 Áp dụng định lý Fermat nhỏ ta được: $a^{p-1}\equiv 1(modp)$ p là số nguyên tố,(a;p)=1

Áp dụng với p=7 là ra

Mình nghĩ không nên áp dụng quá máy móc công cụ như vậy. :v

Với $a$ không là bội của $7$ thì đặt $a=7k\pm r(r\in (1;2;3))$.

$a^{3}=343k^{3}\pm 147k^{2}+21kr^{2}\pm r^{3}\Rightarrow a^{3}=7l\pm -1(k,l\in \mathbb{Z})\Rightarrow ĐPCM$

 

Fermat nhỏ

 

Giải thì làm đàng hoàng, đừng spam.

Với cả bạn Baoriven đã làm ở trên kiểu Fermat nhỏ rồi, tự dưng xuống đây bạn nói làm gì????


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi O0NgocDuy0O: 13-06-2016 - 20:44

"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")

~O)  ~O)  ~O)


#5
the unknown

the unknown

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 208 Bài viết

Mình nghĩ không nên áp dụng quá máy móc công cụ như vậy. :v

Với $a$ không là bội của $7$ thì đặt $a=7k\pm r(r\in (1;2;3))$.

$a^{3}=343k^{3}\pm 147k^{2}+21kr^{2}\pm r^{3}\Rightarrow a^{3}=7l\pm -1(k,l\in \mathbb{Z})\Rightarrow ĐPCM$

 

Có một cách khác để chứng minh thay cho việc xét các giá trị của bạn ( bởi nếu với các số lớn hơn, ví dụ $2017$ chẳng hạn thì chắc thử hết mùa Euro chưa xong  :D ).

Xét các số $a,2a,3a,4a,5a,6a$ và $a$ là một số không chia hết cho $7$, khi đó các số này cũng không chia hết cho $7$ và không tồn tại hai số chia $7$ cùng số dư, thật vậy nếu có, giả sử là số $ma-na$ ($0<n<m<7$), và ta có $0<m-n<7$ nên $(m-n)a$ không chia hết cho $7$ nên sẽ vô lí. Mặt khác một số chia không chia hết cho $7$ chia $7$ chỉ nhận $6$ số dư, tức là $a,2a,3a,4a,5a,6a$ chia $7$ nhận $6$ số dư khác nhau từ $1$ đến $6$ ( hay nói nôm na là $a,2a,3a,4a,5a,6a$ là một hệ thặng dư đầy đủ $mod$ $7$, cái này học sau  :D ). Tức là $a.2a.3a.4a.5a.6a\equiv 1.2.3.4.5.6 (mod 7)\Rightarrow a^6\equiv 1(mod7)$. Vậy bài toán được chứng minh.

Bằng cách tương tự ta chứng minh được định lí Fermat và tổng quát hơn là định lí Euler. :D


$\texttt{If you don't know where you are going, any road will get you there}$






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: toán chứng minh

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh