Chủ đề này có 1 trả lời

[TanSan26]

Chứng minh rằng:

$\sqrt[3]{cos\frac{2\pi}{7}}+\sqrt[3]{cos\frac{4\pi}{7}}+\sqrt[3]{cos\frac{8\pi}{7}}=\sqrt[3]{\frac{5-3\sqrt[3]{7}}{2}}$

[Ispectorgadget]

Chứng minh rằng:

$\sqrt[3]{cos\frac{2\pi}{7}}+\sqrt[3]{cos\frac{4\pi}{7}}+\sqrt[3]{cos\frac{8\pi}{7}}=\sqrt[3]{\frac{5-3\sqrt[3]{7}}{2}}$

Xét phương trình $\cos 4x=\cos 3x \Leftrightarrow (\cos x-1)(8\cos^3x+4\cos^2x-4\cos x-1)=0$

$\Leftrightarrow \cos x=1\vee 8\cos^3x+4\cos^2x-4\cos x-1=0$
Nhận thấy $t_1=2\cos \frac{2\pi}{7};t_2=2\cos \frac{4\pi}{7};t_3=2\cos\frac{6\pi}{7}$ là nghiệm của phương trình $t^3+t^2-2t-1=0$
Theo định lý Viet ta có \[\left\{ \begin{array}{l}
{t_1} + {t_2} + {t_3} = - 1\\
{t_1}{t_2} + {t_3}{t_2} + {t_1}{t_3} = - 2\\
{t_1}{t_2}{t_3} = 1
\end{array} \right.\]
Đặt $A=\sqrt[3]{t_1}+\sqrt[3]{t_2}+\sqrt[3]{t_3}$
$B=\sqrt[3]{t_1t_2}+\sqrt[3]{t_3t_2}+\sqrt[3]{t_1t_3}$
Ta có $A^3=3AB-4$ và $B^3=3AB-5$
$\Rightarrow A^3B^3=(3AB-4)(3AB-5)\Rightarrow (AB-3)^3+7=0\Rightarrow AB=3-\sqrt[3]{7}$
$\Rightarrow A^3=5-3\sqrt[3]{7}\Rightarrow A=\sqrt[3]{5-3\sqrt[3]{7}}$

Từ đây ta có đpcm.