Chủ đề này có 6 trả lời

[tranwhy]

Từ các chữ số: 0,1,2...,8,9 

Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 3

[LAdiese]

Từ các chữ số: 0,1,2...,8,9 

Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 3

Ta phân các chữ số (khác chữ số 0) thành 3 tập A, B, C có các phấn tử khi chia cho 3 có số dư lần lượt là 1, 2, 0 , cụ thể 3 tập đó là:

$A=\left \{ 1,4,7 \right \};B=\left \{ 2,5,8 \right \};C=\left \{ 3,6,9 \right \}$

Các số thỏa yêu cầu có dạng:

a/ Dạng $\overline{aaa0};\overline{bbb0};\overline{ccc0}$ có $3.3!.3=54 \text{ số}$

b/ Dạng $\overline{abc0}$ có $3^{3}.3.3!=486\text{ số}$

c/ Dạng $\overline{aabb}$ có $3.3.4!=216\text{ số}$

d/ Dạng $\overline{abcc}$ có $3.3.3.4!=648\text{ số}$

e/ Dạng $\overline{aaac};\overline{bbbc}$ có $3.4!.2=144\text{ số}$

Vậy có $54+486+216+648+144=1548$ số thỏa yêu cầu.

[toannguyenebolala]

Ta phân các chữ số (khác chữ số 0) thành 3 tập A, B, C có các phấn tử khi chia cho 3 có số dư lần lượt là 1, 2, 0 , cụ thể 3 tập đó là:

$A=\left \{ 1,4,7 \right \};B=\left \{ 2,5,8 \right \};C=\left \{ 3,6,9 \right \}$

Các số thỏa yêu cầu có dạng:

a/ Dạng $\overline{aaa0};\overline{bbb0};\overline{ccc0}$ có $3.3!.3=54 \text{ số}$

b/ Dạng $\overline{abc0}$ có $3^{3}.3.3!=486\text{ số}$

c/ Dạng $\overline{aabb}$ có $3.3.4!=216\text{ số}$

d/ Dạng $\overline{abcc}$ có $3.3.3.4!=648\text{ số}$

e/ Dạng $\overline{aaac};\overline{bbbc}$ có $3.4!.2=144\text{ số}$

Vậy có $54+486+216+648+144=1548$ số thỏa yêu cầu.

Bài này có thể cho luôn số 0 vào tập C rồi loại bớt các trường hợp có chữ số 0 ở vị trí đầu  

[Phamminh05k29]

Bài này có thể cho luôn số 0 vào tập C rồi loại bớt các trường hợp có chữ số 0 ở vị trí đầu

Bạn/thầy/cô ơi, bạn có thể cho mình xem sơ qua cách đấy được không ạ? Mình đã thử cách đó nhưng lại ra đáp án sai ạ.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phamminh05k29: 03-01-2022 - 20:19

[Nobodyv3]

Bạn/thầy/cô ơi, bạn có thể cho mình xem sơ qua cách đấy được không ạ? Mình đã thử cách đó nhưng lại ra đáp án sai ạ.

Theo bạn trên, ta có các tập sau : $A=\left \{ 1,4,7 \right \},B =\left \{ 2,5,8 \right \},C =\left \{ 0,3,6,9 \right \}$. Các số thỏa yêu cầu sẽ có :
a/ 4 chữ số $\in$ C:
$4!-3!= 18$ số (trừ các số bắt đầu là cs 0)
b/ (2 cs $\in $ C) và (1 cs $\in $ A) và (1 cs $\in $ B):
$C_{4}^{2}\cdot C_{3}^{1}\cdot C_{3}^{1}\cdot 4!-C_{3}^{1}\cdot C_{3}^{1}\cdot C_{3}^{1}\cdot3!=1134$ số
c/ (1 cs $\in $ C) và ((3 cs $\in $ A) hoặc (3 cs $\in $ B)) :
$2\left ( C_{4}^{1}\cdot 4!-3! \right)=180 $ số
d/ (2 cs $\in $ A) và (2 cs $\in $B):
$C_{3}^{2}\cdot C_{3}^{2}\cdot 4!=216$ số
Số các số thỏa yêu cầu là :
$18+1134+180+216=1548$ số

[thanhlap]

Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau lập từ các chữ số 1,2,3,4,5,6,7,8,9 .Chọn ngẫu nhiên 1 số từ tập S .Tính xác suất để số được chọn chia hết cho 3

[Nobodyv3]

Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau lập từ các chữ số 1,2,3,4,5,6,7,8,9 .Chọn ngẫu nhiên 1 số từ tập S .Tính xác suất để số được chọn chia hết cho 3

@chanhquocnghiem:
Đây cũng là 1 minh chứng cho bài toán được giải quyết tốt khá là nhẹ nhàng, ngắn gọn khi tiếp cận bằng pp "mộc mạc, cổ điển " quen thuộc, trong khi đó nếu dùng hàm sinh thì bài giải khá dài, cồng kềnh và phải vận dụng thêm một ít kiến thức toán học khác.
a/ Cách tiếp cận "chân phương ", truyền thống:(Mời bạn gì đó nên xem phần này nhé ) theo mình thì bạn phân thành 3 tập :$A_0=\left \{ 3,6,9 \right \},A_1=\left \{ 1,4,7 \right \},A_2=\left \{ 2,5,8 \right \} $. Sau đó bạn tính số tập con có 4 phần tử mà tổng các phần tử chia hết cho 3. Tdụ : số cách chọn 2 ptử thuộc $A_0$ + 1 ptử thuộc $A_1$ + 1 ptử thuộc $A_2$ là : $C^{1}_{3}.C^{1}_{3}.C^{1}_{3}=27$..vv... Cứ tính như vậy, bạn sẽ có số tập con có 4 ptử và tổng 4 ptử chia hết cho 3 là $42$. Thực hiện hoán vị 4 ptử trong mỗi tập, bạn sẽ được số các số thỏa yêu cầu đề bài là $4!42$. Từ đây bạn dễ dàng tính được XS mà đề bài yêu cầu.
b/ Tiếp cận bằng hàm sinh :
Ta lập hàm sinh $G(x,y)$, trong đó $x$ mang thông tin là tổng các phần tử, $y$ mang thông tin là số phần tử. Ta có :
$$G(x,y)=(1+xy)(1+x^2y)(1+x^3y)...(1+x^9y)$$
Khai triển dưới dạng tổng thì:
$G(x,y)=\sum_{n,k}^{} a_{n,k}x^ny^k$
Gọi $\omega ^{2\pi i/3} $ là một căn bậc 3 của đơn vị và $N$ là số tập con $ k$ phần tử và tổng k phần tử trong tập con này là $n$ thì :
$N=\sum_{k\geq 0, 3\mid n}^{}a_{n,k}y^k=\frac{G(1, y) +G(\omega, y)+G(\omega^2, y) }{3}$
Ta có :
$G(1,y)=(1+y)^9$
$G(\omega^j,y)=(1+\omega^jy)(1+\omega^{2j}y)...(1+\omega^{9j}y)=\left ( (1+\omega y)(1+\omega^{2}y) (1+\omega^{3}y) \right )^3, \forall j\geq 1$
Dễ thấy phương trình $y^3+1=0$ có nghiệm là $-e^{-1}, -e^{-2}, -e^{-3} $ nên :
$(1+\omega y)(1+\omega^{2}y) (1+\omega^{3}y)=1+y^3$
Suy ra :
$N=\sum_{k\geq 0, 3\mid n}^{}a_{n,k}y^k=\frac{(1+y)^9+2(1+y^3)^3}{3}$
Với $k=4$ ta có :
$N=\frac{\binom{9}{4}+2(1+y^3)^3}{3}=\frac{\binom{9}{4}}{3}=\frac{126}{3}=42$
Suy ra số các số thỏa yêu cầu đề bài là $\boxed {4!42}$
Chú thích :
- Số hạng thứ hai trong tử số của $N$ bằng $0$ vì sau khi khai triển số hạng này thì trong khai triển không có số hạng nào chứa $y^4$.

PS: Nhân đây, cho phép em hỏi thăm anh Chanhquocnghiem : Lâu rồi không thấy anh viết bài trên forum, anh mạnh khỏe chứ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 15-08-2022 - 06:19