Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh $x(x+1)=p^{2n}(y+1)$ vô nghiệm

- - - - - pt nghiệm nguyên vô nghiệm số nguyên tố

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 9 trả lời

#1
Cantho2015

Cantho2015

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 48 Bài viết

1. Chứng minh phương trình nghiệm nguyên $x(x+1)=p^{2n}y(y+1)$ vô nghiệm với $p$ là số nguyên tố và $n$ là số nguyên dương

2. Giải phương trình nghiệm nguyên với p là số nguyên tố, $x,y$ là hai số nguyên dương

$x^5+x^4+1=p^y$

3. Giải hệ phương trình nghiệm nguyên

$\begin{cases}x+y+z+u+v=xyuv+(x+y)(u+v)\\xy+z+uv=xy(u+v)+uv(x+y)\end{cases}$

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Cantho2015: 19-06-2016 - 14:47


#2
thinhrost1

thinhrost1

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 316 Bài viết

1. Chứng minh phương trình nghiệm nguyên $x(x+1)=p^{2n}y(y+1)$ vô nghiệm với $p$ là số nguyên tố và $n$ là số nguyên dương

2. Giải phương trình nghiệm nguyên với p là số nguyên tố, $x,y$ là hai số nguyên dương

$x^5+x^4+1=p^y$

3. Giải hệ phương trình nghiệm nguyên

$\begin{cases}x+y+z+u+v=xyuv+(x+y)(u+v)\\xy+z+uv=xy(u+v)+uv(x+y)\end{cases}$

Bài 2 quan trọng là phát hiện:

$x^5+x^4+1=x^5+x^3+x^3+1-x^3=(x^2+x+1)(x^3-x+1)$

Viết pt lại: $(x^2+x+1)(x^3-x+1)=p^y$

Dễ thấy $x$ phải dương

Nếu $x=1$ thì $p=3,y=1$

Nếu $x>1$ thì khi đó $y>1$ (Do $x^2+x+1>1, x^3-x+1$)

Giả sử $(x^2+x+1,x^3-x+1)=d$

Suy ra $d | -(x^2+x+1+x^3-x+1)+x(x^2+x+1)=x-2$

$d| -(x-2)(x+3)+(x^2+x+1)=5$

Nên nếu $p=5$, thì $(x^2+x+1,x^3-x+1)=5$

 Mà $x^2+x+1 \ne 5$ và $x^3-x+1 \ne 5$ (với $x$ nguyên)

Nên $p=5$ phương trình vô nghiệm.

$p \ne 5$ thì suy ra: $(x^2+x+1,x^3-x+1)=1$ Mà $x^2+x+1 \ne 1$ và $x^3-x+1 \ne 1$ (với $x>1$ )

Vậy: $(x,y,p)=(1,1,3)$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thinhrost1: 19-06-2016 - 15:19


#3
I Love MC

I Love MC

    Đại úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1861 Bài viết

Bài 3 : Trừ  theo vế của phương trình thứ hai cho phương trình thứ nhất ta được : 
$x+y+xy+u+v-uv=(x+y-xy)(u+v-uv)$ 

$\Leftrightarrow (1-x)(1-y)(1-u)(1-v)=1$ Từ suy ra nghiệm của hệ : 
$(x,y,z,u,v)=(0,0,0,0,0),(0,0,-4,2,2),(0,2,0,0,2),(0,2,0,2,0),(2,0,0,0,2),(2,0,0,2,0),(2,2,-4,0,0),((2,2,24,2,2)$ 



#4
Cantho2015

Cantho2015

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 48 Bài viết

Bài 1 mình giải thế này:

  $$\displaystyle{\frac{x(x+1)}{y(y+1)}=(p^n)^2}$$
 Dễ thấy \[gcd(x;x+1)=gcd(y;y+1)=1 \]
Giả sử $y|x \Rightarrow y \nmid x+1, y+1 \nmid x$
  $$x=my; x+1=n(y+1) $$ (với $m,n \geq{1}$)
  $(m;n)=d \Rightarrow d|my-n(y+1) \Rightarrow d|x-(x+1) \Rightarrow d=1$
  $mn=(p^n)^2=p.p.p....p$ $\Rightarrow$ Một trong $m$ hoặc $n$ phải bằng $1$ 
 Cả hai trường hợp $\Rightarrow x=y$. Vậy $p=1$ (vô lý)
  Nếu $y|x+1$, chứng minh tương tự


#5
Cantho2015

Cantho2015

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 48 Bài viết

Bài 2 quan trọng là phát hiện:

$x^5+x^4+1=x^5+x^3+x^3+1-x^3=(x^2+x+1)(x^3-x+1)$

Viết pt lại: $(x^2+x+1)(x^3-x+1)=p^y$

Dễ thấy $x$ phải dương

Nếu $x=1$ thì $p=3,y=1$

Nếu $x>1$ thì khi đó $y>1$ (Do $x^2+x+1>1, x^3-x+1$)

Giả sử $(x^2+x+1,x^3-x+1)=d$

Suy ra $d | -(x^2+x+1+x^3-x+1)+x(x^2+x+1)=x-2$

$d| -(x-2)(x+3)+(x^2+x+1)=5$

Nên nếu $p=5$, thì $(x^2+x+1,x^3-x+1)=5$

 Mà $x^2+x+1 \ne 5$ và $x^3-x+1 \ne 5$ (với $x$ nguyên)

Nên $p=5$ phương trình vô nghiệm.

$p \ne 5$ thì suy ra: $(x^2+x+1,x^3-x+1)=1$ Mà $x^2+x+1 \ne 1$ và $x^3-x+1 \ne 1$ (với $x>1$ )

Vậy: $(x,y,p)=(1,1,3)$

Cái chỗ $(x^2+x+1,x^3-x+1)=5$ $\Rightarrow$ $x^2+x+1 \ne 5$ sao không phải là $x^2+x+1 \ne 5k$, mình không hiểu.



#6
thinhrost1

thinhrost1

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 316 Bài viết

Cái chỗ $(x^2+x+1,x^3-x+1)=5$ $\Rightarrow$ $x^2+x+1 \ne 5$ sao không phải là $x^2+x+1 \ne 5k$, mình không hiểu.

Nếu $k \ne 5$ thì khi đó $5^y$ chia hết cho $k$, vô lí 



#7
thinhrost1

thinhrost1

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 316 Bài viết

 

Bài 1 mình giải thế này:

  $$\displaystyle{\frac{x(x+1)}{y(y+1)}=(p^n)^2}$$
 Dễ thấy \[gcd(x;x+1)=gcd(y;y+1)=1 \]
Giả sử $y|x \Rightarrow y \nmid x+1, y+1 \nmid x$
  $$x=my; x+1=n(y+1) $$ (với $m,n \geq{1}$)
  $(m;n)=d \Rightarrow d|my-n(y+1) \Rightarrow d|x-(x+1) \Rightarrow d=1$
  $mn=(p^n)^2=p.p.p....p$ $\Rightarrow$ Một trong $m$ hoặc $n$ phải bằng $1$ 
 Cả hai trường hợp $\Rightarrow x=y$. Vậy $p=1$ (vô lý)
  Nếu $y|x+1$, chứng minh tương tự

 

Sai ở khúc $ y |x  \Rightarrow y+1 \not \mid x $, bạn có thể lấy ví dụ là  $3| 12 $ và $4|12$



#8
Cantho2015

Cantho2015

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 48 Bài viết

Nếu $k \ne 5$ thì khi đó $5^y$ chia hết cho $k$, vô lí 

Vậy $x^2+x+1=5^k$ khi đó $5^y$ chia hết cho $5^k$ với $y \geq k$ và hình như không vô lý



#9
thinhrost1

thinhrost1

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 316 Bài viết

Vậy $x^2+x+1=5^k$ khi đó $5^y$ chia hết cho $5^k$ với $y \geq k$ và hình như không vô lý

Bạn đang hiểu nhầm ý mình $5^k$ và $k$



#10
Cantho2015

Cantho2015

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 48 Bài viết

Bạn đang hiểu nhầm ý mình $5^k$ và $k$

Bài 1 mình giải sai rồi. 
Còn bài giải của bạn, mình không hiểu tại sao $x^2+x+1$ phải bằng chính xác $5$ mà không phải là $5^k$ vì cả vế trái bằng $5^y$ mà có phải $5$ đâu. 

Nhưng mà cách giải thì đúng rồi

$x^2+x+1=5^k$

$\Delta_x=-3+5^k=a^2$

$-3+5^k \equiv{2} \pmod{5}$ $\Rightarrow a^2 \equiv{2} \pmod{5}$ vô lý. Vậy phương trình không có nghiệm nguyên, tương tự cho $x^2-x+1$







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: pt nghiệm nguyên, vô nghiệm, số nguyên tố

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh