Chủ đề này có 3 trả lời

[Nguyen Van Luc]

Cho  số nguyên dương $n$ . Tính các tổng:

1, $\sum_{k=1}^{n}k^2$

2, $\sum_{k=1}^{n}k^3$

3, $\sum_{k=1}^{n}k^4$

4, $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}$

5, $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Van Luc: 20-06-2016 - 00:29

[I Love MC]

Công thức Faulhaber

[Nguyen Van Luc]

còn trường hợp tính $\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}$ thì sao ạ?

[Nobodyv3]

còn trường hợp tính $\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}$ thì sao ạ?

Mình nghĩ chỉ có thể tính gần đúng $ H_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots\ +\frac{1}{n} $ như sau :
Trên đồ thị hàm $\frac {1}{x}$: Xét phần diện tích dưới đường cong $\frac {1}{x}$ khi x chạy từ 1 đến n. Ta thấy
$H_n-\frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots\ +\frac{1}{n-1}$ là diện tích kể cả phần diện tích các tam giác dư phía trên đường cong.
và $H_n-1=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots\ +\frac{1}{n}$ là diện tích không có phần diện tích các tam giác thiếu phía dưới đường cong.
Do đó,
$H_n-1< \int_{1}^{n}\frac {1}{x}\,dx< H_n-\frac{1}{n}\\
\Longrightarrow \ln n+\frac {1}{n}<H_n< \ln n+1$
Công thức gần đúng:
$H_n \approx ln(n) + \frac{1}{n} + \gamma\left(1+ln\left(\frac{n}{n+1}\right)\right)$  trong đó $ \gamma =0,57721566...$ là hằng số Euler - Mascheroni.
Thí dụ, với  n=100:
Ta có $H_{100} = 5,1873775...$
Gần đúng : $H_{100} \approx 5,1866423...$
Sai số : $0,0141719...\%$
Với n=1000:
Ta có $H_{1000} = 7,4854708...$
Gần đúng : $H_{1000} \approx 7,4853940...$
Sai số : $0,0010265...\%$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 30-12-2022 - 12:59