Cho $x+y+z=0$ Chứng minh rằng: $5(x^{3}+y^{3}+z^{3})(x^{2}+y^{2}+z^{2})= 6(x^{5}+y^{5}+z^{5})$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ViTuyet2001: 07-07-2016 - 20:34
Cho $x+y+z=0$ Chứng minh rằng: $5(x^{3}+y^{3}+z^{3})(x^{2}+y^{2}+z^{2})= 6(x^{5}+y^{5}+z^{5})$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ViTuyet2001: 07-07-2016 - 20:34
Ta có : $$x+y+z=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+y=-z \\z+y=-x \\ z+x=-y \\ (x+y+z)^{2}=0 (1) \end{matrix} \right.$$Cho $x+y+z=0$ Chứng minh rằng: $5(x^{3}+y^{3}+z^{3})(x^{2}+y^{2}+z^{2})= 6(x^{5}+y^{5}+z^{5})$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thjiuyghjiuytgjkiutghj: 13-08-2016 - 02:31
Ta có : $$x+y+z=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+y=-z \\z+y=-x \\ z+x=-y \\ (x+y+z)^{2}=0 (1) \end{matrix} \right.$$
$(1) \Leftrightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xy+2yz+2zx=0 \Leftrightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}=-2(xy+yz+zx)$
$x^{3}+y^{3}+z^{3}=(x+y)^{3}-3xy(x+y)+z^{3}=-z^{3}-3xy(-z)+z^{3}=3xyz$
Xét $(x^{2}+y^{2}+z^{2})(x^{3}+y^{3}+z^{3})={[(3xyz)[-2(xy+yz+zx)]]}=-6(x^{2}y^{2}z+xy^{2}z^{2}+x^{2}yz^{2})$
$VT=5(x^{2}y^{2}z+xy^{2}z^{2}+x^{2}yz^{2})=-30(x^{2}y^{2}z+xy^{2}z^{2}+x^{2}yz^{2}) (2)$
$VP=6(x^{5}+y^{5}+z^{5})=6[(x^{2}+y^{2}+z^{2})(x^{3}+y^{3}+z^{3})-x^{2}y^{2}(x+y)-y^{2}z^{2}(y+z)-z^{2}x^{2}(x+z)]=6[-6(x^{2}y^{2}z+xy^{2}z^{2}+x^{2}yz^{2})+x^{2}y^{2}z+xy^{2}z^{2}+x^{2}yz^{2}]=6[-5(x^{2}y^{2}z+xy^{2}z^{2}+x^{2}yz^{2})]=-30(x^{2}y^{2}z+xy^{2}z^{2}+x^{2}yz^{2}) (3)$
Từ $(2)(3) \Rightarrow VT=VP (đpcm)$
Cảm ơn bạn, nhưng hơi dài.
Cảm ơn bạn, nhưng hơi dài.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thjiuyghjiuytgjkiutghj: 13-08-2016 - 22:33
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Tìm hằng số $k$ lớn nhất thỏa mãn Bất Đẳng Thức sau:Bắt đầu bởi Peteroldar, 22-05-2019 toán 8, bất dẳng thức và cực trị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Tìm GTNN $B=\frac{a+bc}{b+c}+\frac{b+ca}{c+a}+\frac{c+ab}{a+b}$Bắt đầu bởi Tran Thanh Phuong, 29-04-2019 toán 8, cực trị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Cho x, y, z > 1 và x+y+z+xyz. Tìm Min của ...Bắt đầu bởi Peteroldar, 16-04-2019 bất đẳng thức, cực trị, toán 8 |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:Bắt đầu bởi Peteroldar, 14-04-2019 bất đẳng thức và cực trị, toán 8 và . |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{1}{(a+1)^{2}+b^{2}+1} \leq \frac{1}{2}$Bắt đầu bởi ithanhlam, 17-02-2019 toán 8 |
|
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh