Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh rằng:$5(x^{3}+y^{3}+z^{3})(x^{2}+y^{2}+z^{3})= 6(x^{5}+y^{5}+z^{5})$

- - - - - toán 8

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
ViTuyet2001

ViTuyet2001

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 121 Bài viết

Cho $x+y+z=0$ Chứng minh rằng: $5(x^{3}+y^{3}+z^{3})(x^{2}+y^{2}+z^{2})= 6(x^{5}+y^{5}+z^{5})$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ViTuyet2001: 07-07-2016 - 20:34


#2
thjiuyghjiuytgjkiutghj

thjiuyghjiuytgjkiutghj

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 70 Bài viết

Cho $x+y+z=0$ Chứng minh rằng: $5(x^{3}+y^{3}+z^{3})(x^{2}+y^{2}+z^{2})= 6(x^{5}+y^{5}+z^{5})$

Ta có : $$x+y+z=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+y=-z \\z+y=-x \\ z+x=-y \\ (x+y+z)^{2}=0 (1) \end{matrix} \right.$$
$(1) \Leftrightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xy+2yz+2zx=0 \Leftrightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}=-2(xy+yz+zx)$
$x^{3}+y^{3}+z^{3}=(x+y)^{3}-3xy(x+y)+z^{3}=-z^{3}-3xy(-z)+z^{3}=3xyz$
Xét $(x^{2}+y^{2}+z^{2})(x^{3}+y^{3}+z^{3})={[(3xyz)[-2(xy+yz+zx)]]}=-6(x^{2}y^{2}z+xy^{2}z^{2}+x^{2}yz^{2})$
$VT=5(x^{2}y^{2}z+xy^{2}z^{2}+x^{2}yz^{2})=-30(x^{2}y^{2}z+xy^{2}z^{2}+x^{2}yz^{2}) (2)$
$VP=6(x^{5}+y^{5}+z^{5})=6[(x^{2}+y^{2}+z^{2})(x^{3}+y^{3}+z^{3})-x^{2}y^{2}(x+y)-y^{2}z^{2}(y+z)-z^{2}x^{2}(x+z)]=6[-6(x^{2}y^{2}z+xy^{2}z^{2}+x^{2}yz^{2})+x^{2}y^{2}z+xy^{2}z^{2}+x^{2}yz^{2}]=6[-5(x^{2}y^{2}z+xy^{2}z^{2}+x^{2}yz^{2})]=-30(x^{2}y^{2}z+xy^{2}z^{2}+x^{2}yz^{2}) (3)$
Từ $(2)(3) \Rightarrow VT=VP (đpcm)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thjiuyghjiuytgjkiutghj: 13-08-2016 - 02:31


#3
ViTuyet2001

ViTuyet2001

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 121 Bài viết

Ta có : $$x+y+z=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+y=-z \\z+y=-x \\ z+x=-y \\ (x+y+z)^{2}=0 (1) \end{matrix} \right.$$
$(1) \Leftrightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xy+2yz+2zx=0 \Leftrightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}=-2(xy+yz+zx)$
$x^{3}+y^{3}+z^{3}=(x+y)^{3}-3xy(x+y)+z^{3}=-z^{3}-3xy(-z)+z^{3}=3xyz$
Xét $(x^{2}+y^{2}+z^{2})(x^{3}+y^{3}+z^{3})={[(3xyz)[-2(xy+yz+zx)]]}=-6(x^{2}y^{2}z+xy^{2}z^{2}+x^{2}yz^{2})$
$VT=5(x^{2}y^{2}z+xy^{2}z^{2}+x^{2}yz^{2})=-30(x^{2}y^{2}z+xy^{2}z^{2}+x^{2}yz^{2}) (2)$
$VP=6(x^{5}+y^{5}+z^{5})=6[(x^{2}+y^{2}+z^{2})(x^{3}+y^{3}+z^{3})-x^{2}y^{2}(x+y)-y^{2}z^{2}(y+z)-z^{2}x^{2}(x+z)]=6[-6(x^{2}y^{2}z+xy^{2}z^{2}+x^{2}yz^{2})+x^{2}y^{2}z+xy^{2}z^{2}+x^{2}yz^{2}]=6[-5(x^{2}y^{2}z+xy^{2}z^{2}+x^{2}yz^{2})]=-30(x^{2}y^{2}z+xy^{2}z^{2}+x^{2}yz^{2}) (3)$
Từ $(2)(3) \Rightarrow VT=VP (đpcm)$

Cảm ơn bạn, nhưng hơi dài.



#4
thjiuyghjiuytgjkiutghj

thjiuyghjiuytgjkiutghj

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 70 Bài viết

Cảm ơn bạn, nhưng hơi dài.


Mình viết đầy đủ, nếu bạn thấy chỗ nào không cần thiết thì bỏ hay rút gọn bớt !

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thjiuyghjiuytgjkiutghj: 13-08-2016 - 22:33






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: toán 8

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh