Đến nội dung

Hình ảnh

CMR: $4^{x} + x + y \vdots 6$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
nglinhrose

nglinhrose

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 14 Bài viết

Cho $x,y \in \mathbb{N}$ sao cho: x+1 và y+2013 chia hết cho 6

CMR: $4^{x} + x + y \vdots 6$


Nothing is impossible


#2
Baoriven

Baoriven

    Thượng úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 1422 Bài viết

Ta có: $4^k\equiv 4(mod6),\forall k\epsilon \mathbb{N},k>0$

Suy ra: $4^x+x+y\equiv 4+5+3\equiv 0(mod6)$


$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$


#3
dat9adst20152016

dat9adst20152016

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 174 Bài viết
Từ giả thiết suy ra x và y cùng lẻ
Do đó 4^x+x+y chưa hết cho 2 (1)
Cũng từ giả thiết suy ra x chia 3 dư 2 và y chia hết cho 3
Mặt khác 4^x chia 3 dư 1
Do đó 4^x+x+y chưa hết cho 3 (2)
Từ (1) và (2) suy ra 4^x+x+y chia hết cho 6

     Ví như dòng sông nào cũng bắt nguồn từ những con suối nhỏ, mỗi bài toán dù khó đến đâu cũng có nguồn gốc từ những bài toán đơn giản, có khi rất quen thuộc đối với chúng ta.
                                              -G. Polya-


#4
Cantho2015

Cantho2015

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 48 Bài viết

Ta có $A=4^x+x+y=4^x-2014+(x+1)+(y+2013)$

$A=(2^x)^2-2^2-(6)(335)+(x+1)+(y+2013)=(2^x-2)(2^x+2)+6k$

Vì $2^x-2$ và $2^x+2$ là bội của $2$ nên tích của chúng chia hết cho $2$.

Ta có $2 \equiv -1 \pmod{3}$

Nếu $x$ lẻ suy ra $2^x-2$ chia hết cho $3$, $x$ chẵn suy ra $2^x+2$ chia hết cho $3$.

Vì $(2^x-2)(x^x+2)$ chia hết cho $3$ và $2$ nên chia hết cho $6$ $\Rightarrow$ đpcm






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh