Cho $x,y \in \mathbb{N}$ sao cho: x+1 và y+2013 chia hết cho 6
CMR: $4^{x} + x + y \vdots 6$
Cho $x,y \in \mathbb{N}$ sao cho: x+1 và y+2013 chia hết cho 6
CMR: $4^{x} + x + y \vdots 6$
Nothing is impossible
Ta có: $4^k\equiv 4(mod6),\forall k\epsilon \mathbb{N},k>0$
Suy ra: $4^x+x+y\equiv 4+5+3\equiv 0(mod6)$
$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$
Ví như dòng sông nào cũng bắt nguồn từ những con suối nhỏ, mỗi bài toán dù khó đến đâu cũng có nguồn gốc từ những bài toán đơn giản, có khi rất quen thuộc đối với chúng ta.
-G. Polya-
Ta có $A=4^x+x+y=4^x-2014+(x+1)+(y+2013)$
$A=(2^x)^2-2^2-(6)(335)+(x+1)+(y+2013)=(2^x-2)(2^x+2)+6k$
Vì $2^x-2$ và $2^x+2$ là bội của $2$ nên tích của chúng chia hết cho $2$.
Ta có $2 \equiv -1 \pmod{3}$
Nếu $x$ lẻ suy ra $2^x-2$ chia hết cho $3$, $x$ chẵn suy ra $2^x+2$ chia hết cho $3$.
Vì $(2^x-2)(x^x+2)$ chia hết cho $3$ và $2$ nên chia hết cho $6$ $\Rightarrow$ đpcm
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh