Đến nội dung


Hình ảnh

$\frac{a^{2}+3b^{2}}{a+3b}+\frac{b^{2}+3c}{b+3c}+\frac{c^{2}+3a^{2}}{c+3a}\geq 3$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 Gachdptrai12

Gachdptrai12

    Thượng sĩ

  • Điều hành viên THCS
  • 280 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:11/2 THPT Phan Châu Trinh-Đà Nẵng
  • Sở thích:inequalities, coi anime, tán gái @@

Đã gửi 06-07-2016 - 20:35

Lấy 1 bài hiện unsolve trên AOPS, và MARATHON BĐT

cho $a,b,c>0$ thỏa $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$

$\frac{a^{2}+3b^{2}}{a+3b}+\frac{b^{2}+3c^{2}}{b+3c}+\frac{c^{2}+3a^{2}}{c+3a}\geq 3$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Gachdptrai12: 07-07-2016 - 23:02


#2 Nguyenhuyen_AG

Nguyenhuyen_AG

    Trung úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 945 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 06-07-2016 - 22:04

Lấy 1 bài hiện unsolve trên AOPS, và MARATHON BĐT

cho $a,b,c>0$ thỏa $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$

$\frac{a^{2}+3b^{2}}{a+3b}+\frac{b^{2}+3c}{b+3c}+\frac{c^{2}+3a^{2}}{c+3a}\geq 3$

 

Bất đẳng thức chặt hơn vẫn đúng

\[\sqrt{a^2+3b^2} + \sqrt{b^2+3c^2} + \sqrt{c^2+3a^2} \geqslant \sqrt{12(a+b+c)}.\]


Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University Of Transport

#3 tritanngo99

tritanngo99

    Đại úy

  • Điều hành viên THPT
  • 1624 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng

Đã gửi 06-07-2016 - 22:34

Lấy 1 bài hiện unsolve trên AOPS, và MARATHON BĐT

cho $a,b,c>0$ thỏa $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$

$\frac{a^{2}+3b^{2}}{a+3b}+\frac{b^{2}+3c}{b+3c}+\frac{c^{2}+3a^{2}}{c+3a}\geq 3$

Ta có:$\sum \frac{a^2+3b^2}{a+3b}\ge^{Cauchy-Schwarz} \frac{(\sqrt{a^2+3b^2})^2}{4(a+b+c)}\rightarrow A$.

Ta đi Cm:  $A\ge 3\iff \sum \sqrt{a^2+3b^2}\ge \sqrt{12(a+b+c)}$.

Thật vậy: Ta có: $\sqrt{a^2+3b^2}\ge \frac{a}{2}+\frac{3b}{2}\iff (a-b)^2\ge 0$.

$\implies \sum \sqrt{a^2+3b^2}\ge 2(a+b+c)\ge \sqrt{12(a+b+c)}\implies Q.E.D$.

Dấu $=$ xảy ra tại $a=b=c=1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 06-07-2016 - 22:36


#4 Gachdptrai12

Gachdptrai12

    Thượng sĩ

  • Điều hành viên THCS
  • 280 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:11/2 THPT Phan Châu Trinh-Đà Nẵng
  • Sở thích:inequalities, coi anime, tán gái @@

Đã gửi 06-07-2016 - 22:51

Ta có:$\sum \frac{a^2+3b^2}{a+3b}\ge^{Cauchy-Schwarz} \frac{(\sqrt{a^2+3b^2})^2}{4(a+b+c)}\rightarrow A$.

Ta đi Cm:  $A\ge 3\iff \sum \sqrt{a^2+3b^2}\ge \sqrt{12(a+b+c)}$.

Thật vậy: Ta có: $\sqrt{a^2+3b^2}\ge \frac{a}{2}+\frac{3b}{2}\iff (a-b)^2\ge 0$.

$\implies \sum \sqrt{a^2+3b^2}\ge 2(a+b+c)\ge \sqrt{12(a+b+c)}\implies Q.E.D$.

Dấu $=$ xảy ra tại $a=b=c=1$

sai rồi bạn vì $\sum a^{2}= 3\Rightarrow \sqrt{\sum a} \leq \sqrt{3}$ $\Rightarrow$$2\sqrt{\sum a}-\sqrt{12} \leq 0$ 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Gachdptrai12: 06-07-2016 - 23:03





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh