Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm GTNN của biểu thức: $P=\frac{3x}{2}+\frac{4y}{3}+\frac{5z}{6}$

bdt_03

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
tritanngo99

tritanngo99

    Đại úy

  • Điều hành viên THPT
  • 1644 Bài viết

Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn: $xy+yz+zx=1$. Tìm GTNN của biểu thức:

$P=\frac{3x}{2}+\frac{4y}{3}+\frac{5z}{6}$



#2
tungteng532000

tungteng532000

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 174 Bài viết

Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn: $xy+yz+zx=1$. Tìm GTNN của biểu thức:

$P=\frac{3x}{2}+\frac{4y}{3}+\frac{5z}{6}$

Lời giải 
Ta có biến đổi sau:
$(\frac{3x}{2}+\frac{4y}{3}+\frac{5z}{6})^2-4(xy+yz+zx)=\frac{4(2y-z)^2}{9}+\frac{(z-3x)^2}{4}\geq 0\Rightarrow P\geq 2$
MinP=2 đạt được tại $z=2y=3x\Leftrightarrow x=\frac{1}{3},y=\frac{1}{2},z=1$


                                              Lời giải hay thì like nhé :))
FB: 
https://www.facebook...oylanh.lung.564


#3
tritanngo99

tritanngo99

    Đại úy

  • Điều hành viên THPT
  • 1644 Bài viết

Lời giải 
Ta có biến đổi sau:
$(\frac{3x}{2}+\frac{4y}{3}+\frac{5z}{6})^2-4(xy+yz+zx)=\frac{4(2y-z)^2}{9}+\frac{(z-3x)^2}{4}\geq 0\Rightarrow P\geq 2$
MinP=2 đạt được tại $z=2y=3x\Leftrightarrow x=\frac{1}{3},y=\frac{1}{2},z=1$

Tổng quát của bài toán này là: 

Cho $a,b,c,x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn: $ab+bc+ca=xy+yz+zx=1$. Chứng minh rằng:

$a(y+z)+b(z+x)+c(x+y)\ge 2(*)$.

Bài toán trên là trường hợp cụ thể cho $a=\frac{1}{3};b=\frac{1}{2};c=1$.

Chứng minh bài toán tổng quát như sau:

Đặt $(A;X;P;Q)\rightarrow (\sum a^2;\sum x^2;\sum ab;\sum xy)$.

Khi đó: $(*)\iff \sum a(y+z)+\sum ax\ge \sum ax+2\iff (\sum a)(\sum x)\ge \sum ax+2(**)$.

Với $P=Q=1$.

Lúc này: $(**)\iff [(\sum a)(\sum x)]^2\ge (2+\sum ax)^2$

$\iff (A+2)(X+2)\ge (2+\sum ax)^2$.

Áp dụng BDT $Cauchy-Schwarz$ ta có;

$(A+2)(X+2)\ge (2+\sqrt{AX})^2$.

Mà $\sqrt{AX}\ge \sum ax$

$\implies (A+2)(X+2)\ge (2+\sqrt{AX})^2\ge (2+\sum ax)^2\implies Q.E.D$.

Dấu $=$ xảy ra tại $x=a;y=b;z=c$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 08-07-2016 - 09:48


#4
tungteng532000

tungteng532000

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 174 Bài viết

Tổng quát của bài toán này là: 

Cho $a,b,c,x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn: $ab+bc+ca=xy+yz+zx=1$. Chứng minh rằng:

$a(y+z)+b(z+x)+c(x+y)\ge 2(*)$.

Bài toán trên là trường hợp cụ thể cho $a=\frac{1}{3};b=\frac{1}{2};c=1$.

Chứng minh bài toán tổng quát như sau:

Đặt $(A;X;P;Q)\rightarrow (\sum a^2;\sum x^2;\sum ab;\sum xy)$.

Khi đó: $(*)\iff \sum a(y+z)+\sum ax\ge \sum ax+2\iff (\sum a)(\sum x)\ge \sum ax+2(**)$.

Với $P=Q=1$.

Lúc này: $(**)\iff [(\sum a)(\sum x)]^2\ge (2+\sum ax)^2$

$\iff (A+2)(X+2)\ge (2+\sum ax)^2$.

Áp dụng BDT $Cauchy-Schwarz$ ta có;

$(A+2)(X+2)\ge (2+\sqrt{AX})^2$.

Mà $\sqrt{AX}\ge \sum ax$

$\implies (A+2)(X+2)\ge (2+\sqrt{AX})^2\ge (2+\sum ax)^2\implies Q.E.D$.

Dấu $=$ xảy ra tại $x=a;y=b;z=c$

Nó vẫn chưa là tổng quát bạn ạ  :ukliam2: 
Tổng quá thì ta có thể dùng pp nhân tử langrage để tìm điểm dừng :ukliam2:


                                              Lời giải hay thì like nhé :))
FB: 
https://www.facebook...oylanh.lung.564


#5
royal1534

royal1534

    Trung úy

  • Điều hành viên THCS
  • 773 Bài viết

Lời giải 
Ta có biến đổi sau:
$(\frac{3x}{2}+\frac{4y}{3}+\frac{5z}{6})^2-4(xy+yz+zx)=\frac{4(2y-z)^2}{9}+\frac{(z-3x)^2}{4}\geq 0\Rightarrow P\geq 2$
MinP=2 đạt được tại $z=2y=3x\Leftrightarrow x=\frac{1}{3},y=\frac{1}{2},z=1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi royal1534: 09-07-2016 - 01:51






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bdt_03

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh