Tìm số nguyên tố p và các số nguyên dương x, y sao cho: $p-1=2x(x+2)$ và $p^2-1=2y(y+2)$
Tìm số nguyên tố p và các số nguyên dương x, y sao cho: $p-1=2x(x+2)$ và $p^2-1=2y(y+2)$
#1
Đã gửi 09-07-2016 - 10:48
#2
Đã gửi 09-07-2016 - 13:23
Từ giả thiết ta có $2x^2+4x+1-p=0$ và $2y^2+4y+1-p^2=0$Tìm số nguyên tố p và các số nguyên dương x, y sao cho: $p-1=2x(x+2)$ và $p^2-1=2y(y+2)$
Ta có: $\Delta_x=8(p+1)=m^2$ và $\Delta_y=8(p^2+1)=n^2$
$=>p^2+1=8^{2k+1}$ hoặc $p^2+1=8t^2$
$TH1: p^2+1=8^{2k+1}<=>p^2=8^{2k+1}-1=7\alpha$ hay $7\mid p^2$ kéo theo $p=7$ (thoả mãn 2 điều kiện)
$TH2: p^2+1=8t^2=>p^2\equiv -1$ $(mod$ $8)$ vô lí vì $p^2\equiv 1$ $(mod$ $8)$
Suy ra $p=7$ và ta tìm được các giá trị $x,y$ tương ứng
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnguyenthe333: 09-07-2016 - 13:27
#3
Đã gửi 09-07-2016 - 14:29
Từ giả thiết ta có $2x^2+4x+1-p=0$ và $2y^2+4y+1-p^2=0$
Ta có: $\Delta_x=8(p+1)=m^2$ và $\Delta_y=8(p^2+1)=n^2$
$=>p^2+1=8^{2k+1}$ hoặc $p^2+1=8t^2$
$TH1: p^2+1=8^{2k+1}<=>p^2=8^{2k+1}-1=7\alpha$ hay $7\mid p^2$ kéo theo $p=7$ (thoả mãn 2 điều kiện)
$TH2: p^2+1=8t^2=>p^2\equiv -1$ $(mod$ $8)$ vô lí vì $p^2\equiv 1$ $(mod$ $8)$
Suy ra $p=7$ và ta tìm được các giá trị $x,y$ tương ứng
Cái đoạn tô đỏ sai rồi
Bài này chuyển về tìm $p$ để $p+1=2a^2$ và $p^2+1=2b^2$
Khi đó $p^3+p^2+p+1=m^2$ với $m=2ab$
Hay $p(p^2+p+1)=(m-1)(m+1)$
TH1: $p \mid m-1$. Đặt $m-1=pk$ thì $m=pk+1$
Đưa về $p^2+p(1-k^2)+(1-2k)=0$ . Khi đó $(1-k^2)^2+4(2k-1)$ phải là số chính phương.
Tìm được $k=1$ và $p=1$ loại
TH2: $p \mid m+1$. Đặt $m+1=pt$ thì $m=pt-1$
Đưa về $p^2+p(1-t^2)+(1+2t)=0$. Khi đó $(1-t^2)-4(1+2t)$ phải là số chính phương
Tìm được $t=3$ và $p=7$
Vậy $p=7$
- minhbeo12 yêu thích
Đừng lo lắng về khó khăn của bạn trong toán học, tôi đảm bảo với bạn rằng những khó khăn toán học của tôi còn gấp bội.
(Albert Einstein)
Visit my facebook: https://www.facebook.com/cao.simon.56
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: số học
|
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
Chứng minh rằng $(a_{1}^{2}+1)(a_{2}^{2}+1)...(a_{2024}^{2}+1)$ không chia hết cho $(a_{1}.a_{2}...a_{2024})^2$Bắt đầu bởi Nguyentrongkhoi, 26-03-2024 số học |
|
||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
Chứng minh rằng $x^2 + y^2 + z^2 - 2(xy + yz + zx)$ là số chính phươngBắt đầu bởi Chuongn1312, 13-03-2024 toán olympic, số học |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
$\sum_{n\vdots d,d=2k+1}\varphi (d)2^{\frac{n}{d}} \hspace{0.2cm} \vdots \hspace{0.2cm} n$Bắt đầu bởi hovutenha, 08-03-2024 tổ hợp, số học |
|
|||
Solved
Toán Trung học Cơ sở →
Đại số →
$f(a)-f(b) \vdots a-b$Bắt đầu bởi Sa is very stupid and lazy, 17-01-2024 số học |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
$x^n+n \vdots p^m$Bắt đầu bởi trinhgiahuy2008, 15-01-2024 số học |
|
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh