Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm số nguyên tố p và các số nguyên dương x, y sao cho: $p-1=2x(x+2)$ và $p^2-1=2y(y+2)$

số học

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
kevotinh2802

kevotinh2802

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 161 Bài viết

Tìm số nguyên tố p và các số nguyên dương x, y sao cho: $p-1=2x(x+2)$ và $p^2-1=2y(y+2)$



#2
Minhnguyenthe333

Minhnguyenthe333

    Trung úy

  • Thành viên
  • 804 Bài viết

Tìm số nguyên tố p và các số nguyên dương x, y sao cho: $p-1=2x(x+2)$ và $p^2-1=2y(y+2)$

Từ giả thiết ta có $2x^2+4x+1-p=0$ và $2y^2+4y+1-p^2=0$

Ta có: $\Delta_x=8(p+1)=m^2$ và $\Delta_y=8(p^2+1)=n^2$

$=>p^2+1=8^{2k+1}$ hoặc $p^2+1=8t^2$

$TH1: p^2+1=8^{2k+1}<=>p^2=8^{2k+1}-1=7\alpha$ hay $7\mid p^2$ kéo theo $p=7$ (thoả mãn 2 điều kiện)

$TH2: p^2+1=8t^2=>p^2\equiv -1$ $(mod$ $8)$ vô lí vì $p^2\equiv 1$ $(mod$ $8)$

Suy ra $p=7$ và ta tìm được các giá trị $x,y$ tương ứng

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnguyenthe333: 09-07-2016 - 13:27


#3
Namthemaster1234

Namthemaster1234

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 550 Bài viết

Từ giả thiết ta có $2x^2+4x+1-p=0$ và $2y^2+4y+1-p^2=0$

Ta có: $\Delta_x=8(p+1)=m^2$ và $\Delta_y=8(p^2+1)=n^2$

$=>p^2+1=8^{2k+1}$ hoặc $p^2+1=8t^2$

$TH1: p^2+1=8^{2k+1}<=>p^2=8^{2k+1}-1=7\alpha$ hay $7\mid p^2$ kéo theo $p=7$ (thoả mãn 2 điều kiện)

$TH2: p^2+1=8t^2=>p^2\equiv -1$ $(mod$ $8)$ vô lí vì $p^2\equiv 1$ $(mod$ $8)$

Suy ra $p=7$ và ta tìm được các giá trị $x,y$ tương ứng

 

Cái đoạn tô đỏ sai rồi

 

Bài này chuyển về tìm $p$ để $p+1=2a^2$ và $p^2+1=2b^2$

 

Khi đó $p^3+p^2+p+1=m^2$ với $m=2ab$

 

Hay $p(p^2+p+1)=(m-1)(m+1)$

 

TH1:  $p \mid m-1$. Đặt $m-1=pk$ thì $m=pk+1$

 

Đưa về $p^2+p(1-k^2)+(1-2k)=0$ . Khi đó $(1-k^2)^2+4(2k-1)$ phải là số chính phương.

 

Tìm được $k=1$ và $p=1$ loại

 

TH2:    $p \mid m+1$. Đặt $m+1=pt$ thì $m=pt-1$

 

Đưa về $p^2+p(1-t^2)+(1+2t)=0$. Khi đó $(1-t^2)-4(1+2t)$ phải là số chính phương

 

Tìm được $t=3$ và $p=7$

 

Vậy $p=7$


Đừng lo lắng về khó khăn của bạn trong toán học, tôi đảm bảo với bạn rằng những khó khăn toán học của tôi còn gấp bội.
(Albert Einstein)

Visit my facebook: https://www.facebook.com/cao.simon.56

:icon6: :icon6: :icon6: :icon6: :icon6:






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: số học

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh