Đến nội dung

Hình ảnh

MAX: $T=\frac{a(b+c)}{(b+c)^2+a^2}+\frac{b(c+a)}{(c+a)^2+b^2}+\frac{c(a+b)}{(a+b)^2+c^2}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
Baoriven

Baoriven

    Thượng úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 1422 Bài viết

Cho a,b,c dương. Tìm GTLN của:

$T=\frac{a(b+c)}{(b+c)^2+a^2}+\frac{b(c+a)}{(c+a)^2+b^2}+\frac{c(a+b)}{(a+b)^2+c^2}$


$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$


#2
the unknown

the unknown

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 208 Bài viết

Cho a,b,c dương. Tìm GTLN của:

$T=\frac{a(b+c)}{(b+c)^2+a^2}+\frac{b(c+a)}{(c+a)^2+b^2}+\frac{c(a+b)}{(a+b)^2+c^2}$

Chuẩn hóa $a+b+c=3$. Khi đó ta sẽ tìm GTLN của: $\sum \frac{a(3-a)}{(3-a)^2+a^2}$.

Ta sẽ chứng minh: $\frac{a(3-a)}{(3-a)^2+a^2}\leq \frac{9}{25}a+\frac{1}{25}\Leftrightarrow \frac{9(a-1)^2(2a+1)}{25(a^2+(3-a)^2)}\geq 0$ ( hiển nhiên đúng)

Do đó $\sum \frac{a(3-a)}{a^2+(3-a)^2}\leq \sum (\frac{9}{25}a+\frac{1}{25})= \frac{6}{5}$

Nên GTLN của $T$ là  $\frac{6}{5}$, xảy ra khi $a=b=c$.


$\texttt{If you don't know where you are going, any road will get you there}$


#3
hoaichung01

hoaichung01

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 60 Bài viết

Cho a,b,c dương. Tìm GTLN của:

$T=\frac{a(b+c)}{(b+c)^2+a^2}+\frac{b(c+a)}{(c+a)^2+b^2}+\frac{c(a+b)}{(a+b)^2+c^2}$

đây là dạng BĐT đối xứng thuần nhất nên ta giả sử a+b+c=1

Ta có $1-2a+2a^{2}=1-2a(1-a)\geq 1-\frac{(a+1)^{2}}{4}=\frac{(1-a)(3+a)}{4}\Rightarrow \frac{a(1-a)}{1-2a+2a^{2}}\leq \frac{4a}{3+a}=4-\frac{12}{a+3}$

$\frac{b(1-b)}{1-2b+2b^{2}}\leq 4-\frac{12}{3+b}$

$\frac{c(1-c)}{1-2c+2c^{2}}\leq 4-\frac{12}{3+c}$

$T\leq 12-12(\frac{1}{3+a}+\frac{1}{3+b}+\frac{1}{3+c})\leq \frac{6}{5}$






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh