Đến nội dung


Hình ảnh

CMR: $2(a+b+c)\geq \sum \sqrt{a^2+3}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1 Baoriven

Baoriven

    Thượng úy

  • Điều hành viên THPT
  • 1259 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:$\boxed{\textrm{CTG}}$ $\boxed{\textrm{HCMUS}}$
  • Sở thích:$\mathfrak{MATHS}$

Đã gửi 12-07-2016 - 19:21

Cho a,b,c dương thỏa mãn: $(a+b+c)abc=ab+bc+ca$. Chứng minh rằng:

$2(a+b+c)\geq \sum \sqrt{a^2+3}$


$\mathfrak{LeHoangBao - CTG - HCMUS}$


#2 Senju Hashirama

Senju Hashirama

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 69 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Inequality , Functional equations ,
    Polynomial , Naruto

Đã gửi 12-07-2016 - 19:52

Dễ thấy : $3abc\left ( a+b+c \right )\leq \left ( ab+bc+ca \right )^{2}$   $\Rightarrow ab+bc+ca\geq 3$

Ta sẽ chứng minh :  $2\left ( a+b+c \right )\geq \sum \sqrt{(a+b)(a+c)}$

Điều này hiển nhiên theo BĐT $AM-GM$

  $\sum \sqrt{(a+b)(a+c)}\leq \sum \frac{2a+b+c}{2}=2\left ( a+b+c \right )$

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$



#3 Baoriven

Baoriven

    Thượng úy

  • Điều hành viên THPT
  • 1259 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:$\boxed{\textrm{CTG}}$ $\boxed{\textrm{HCMUS}}$
  • Sở thích:$\mathfrak{MATHS}$

Đã gửi 13-07-2016 - 08:15

Một cách khác dùng Chebyshev.

BĐT đã cho tương đương với: 

$\sum \frac{3(a^2-1)}{2a+\sqrt{a^2+3}}\geq 0$.

Chú ý điều kiện đã cho: $a+b+c\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\Leftrightarrow \sum \frac{a^2-1}{a}\geq 0$.

Nên ta biến đổi BĐT về dạng:

$\sum \frac{\frac{a^2-1}{a}}{2+\sqrt{1+\frac{3}{a^2}}}\geq 0$.

Không mất tổng quát giả sử: $a\geq b\geq c$, ta có:

$\left\{\begin{matrix}\frac{1}{2+\sqrt{1+\frac{3}{a^2}}}\geq \frac{1}{2+\sqrt{1+\frac{3}{b^2}}}\geq \frac{1}{2+\sqrt{1+\frac{3}{c^2}}} \\ \frac{a^2-1}{a}\geq \frac{b^2-1}{b}\geq \frac{c^2-1}{c} \end{matrix}\right.$.

Sử dụng Chebyshev ta có:

$\sum \frac{\frac{a^2-1}{a}}{2+\sqrt{1+\frac{3}{a^2}}}\geq \frac{1}{3}(\sum \frac{a^2-1}{a})(\sum \frac{1}{2+\sqrt{1+\frac{3}{a^2}}})\geq 0$.

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$.


$\mathfrak{LeHoangBao - CTG - HCMUS}$


#4 thoai6cthcstqp

thoai6cthcstqp

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 146 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thpt Thanh Chương 1, Nghệ An

Đã gửi 13-07-2016 - 12:37

Cho a,b,c dương thỏa mãn: $(a+b+c)abc=ab+bc+ca$. Chứng minh rằng:




$2(a+b+c)\geq \sum \sqrt{a^2+3}$

Cách giải khác theo phương pháp tiếp tuyến:
Ta có: $(a+b+c)abc=ab+bc+ca$ tương đương: $\sum (a-\frac{1}{a})=0$
Ta cần chứng minh: $8a-4\sqrt{a^2+3} \geq 3a-\frac{3}{a}$
Thật vậy, bđt tương đương với:
$\frac{5a^2+3-4a\sqrt{a^2+3}}{a} \geq 0$.
Tương đương: $9(a-1)^2(a+1)^2 \geq 0$
Vậy bài toán đã được giải quyết.
P/s: Like....

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thoai6cthcstqp: 13-07-2016 - 12:57

VML <3


#5 Nguyenhuyen_AG

Nguyenhuyen_AG

    Trung úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 945 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 13-07-2016 - 13:18

Cho a,b,c dương thỏa mãn: $(a+b+c)abc=ab+bc+ca$. Chứng minh rằng:

$2(a+b+c)\geq \sum \sqrt{a^2+3}$

 

Từ giả thiết ta có

\[a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}.\]

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có

\[\sum \sqrt{a^2+3}=\sum \sqrt{a\left ( a+\frac{3}{a} \right )} \leqslant \sqrt{\sum a \sum \left ( a+\frac{3}{a} \right )} = 2(a+b+c).\]


Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University Of Transport




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh