Chủ đề này có 1 trả lời

[yeudiendanlamlam]

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $a^2+b^2=c^2+1$. Tìm GTNN của $P=\sqrt{\frac{a^3}{a^3+(b+c)^3}}+\sqrt{\frac{b^3}{b^3+(c+a)^3}}+\frac{2c^3+1}{27}$

[leminhnghiatt]

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $a^2+b^2=c^2+1$. Tìm GTNN của $P=\sqrt{\frac{a^3}{a^3+(b+c)^3}}+\sqrt{\frac{b^3}{b^3+(c+a)^3}}+\frac{2c^3+1}{27}$

 

Ta có: $\sqrt{\dfrac{a^3}{a^3+(b+c)^3}}=\dfrac{1}{\sqrt{1+(\dfrac{b+c}{a})^3}}=\dfrac{1}{\sqrt{(1+\dfrac{b+c}{a})((\dfrac{b+c}{a})^2-\dfrac{b+c}{a}+1)}} \geq \dfrac{2}{(\dfrac{b+c}{a})^2+2}=\dfrac{2a^2}{(b+c)^2+2a^2} \geq \dfrac{2a^2}{2b^2+2c^2+2a^2}=\dfrac{a^2}{2c^2+1}$

 

TT: $\sqrt{\dfrac{b^3}{b^3+(a+c)^3}} \geq \dfrac{b^2}{2c^2+1}$

 

Ta có: $P \geq \dfrac{a^2+b^2}{2c^2+1}+\dfrac{2c^3+1}{27}=\dfrac{c^2+1}{2c^2+1}+\dfrac{2c^3+1}{27}$

 

Ta có: $f'(c)=\dfrac{-2c}{(2c^2+1)^2}+\dfrac{2c^2}{9}$

 

$f'(c)=0 \iff c=0;c=1$

 

Vậy $MIN_{P}=f(1)=\dfrac{7}{9} \iff c=1; a=b=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leminhnghiatt: 16-07-2016 - 20:29