Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm Min:$\frac{a^3+5}{a^3(b+c)}+\frac{b^3+5}{b^3(c+a)}+\frac{c^3+5}{c^3(a+b)}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1
cristianoronaldo

cristianoronaldo

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 233 Bài viết

Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn abc=1. Xác định giá trị nhỏ nhất của:

$\frac{a^3+5}{a^3(b+c)}+\frac{b^3+5}{b^3(c+a)}+\frac{c^3+5}{c^3(a+b)}$


Nothing in your eyes


#2
bolobala123456

bolobala123456

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 50 Bài viết

phải là max chứ, khi a#b#c thì nó luôn nhỏ hơn 9



#3
NTA1907

NTA1907

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1014 Bài viết

Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn abc=1. Xác định giá trị nhỏ nhất của:

$\frac{a^3+5}{a^3(b+c)}+\frac{b^3+5}{b^3(c+a)}+\frac{c^3+5}{c^3(a+b)}$

Áp dụng AM-GM ta có:

$\frac{a^{3}+5}{a^{3}(b+c)}\geq \frac{3a+3}{a^{3}(b+c)}=\frac{3}{a^{2}(b+c)}+\frac{3}{a^{3}(b+c)}$

$\Rightarrow \sum \frac{a^{3}+5}{a^{3}(b+c)}\geq \sum \frac{3}{a^{2}(b+c)}+\sum \frac{3}{a^{3}(b+c)}$

Ta có:

$\sum \frac{3}{a^{2}(b+c)}=\sum \frac{3bc}{ab+ac}\geq \frac{9}{2}$(theo bất đẳng thức Nesbit)

$\sum \frac{3}{a^{3}(b+c)}=\sum \frac{3bc}{a^{2}(b+c)}=\sum \frac{3b^{2}c^{2}}{ab+ac}\geq \frac{3(ab+bc+ca)^{2}}{2(ab+bc+ca)}\geq \frac{3}{2}.3\sqrt[3]{(abc)^{2}}=\frac{9}{2}$

$\Rightarrow \sum \frac{a^{3}+5}{a^{3}(b+c)}\geq 9$

Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow a=b=c=1$


Vũ trụ không có biên trong không gian, không có bắt đầu và kết thúc trong thời gian và chẳng có việc gì cho đấng sáng thế phải làm ở đây cả.

 


#4
bolobala123456

bolobala123456

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 50 Bài viết

Áp dụng AM-GM ta có:

$\frac{a^{3}+5}{a^{3}(b+c)}\geq \frac{3a+3}{a^{3}(b+c)}=\frac{3}{a^{2}(b+c)}+\frac{3}{a^{3}(b+c)}$

$\Rightarrow \sum \frac{a^{3}+5}{a^{3}(b+c)}\geq \sum \frac{3}{a^{2}(b+c)}+\sum \frac{3}{a^{3}(b+c)}$

Ta có:

$\sum \frac{3}{a^{2}(b+c)}=\sum \frac{3bc}{ab+ac}\geq \frac{9}{2}$(theo bất đẳng thức Nesbit)

$\sum \frac{3}{a^{3}(b+c)}=\sum \frac{3bc}{a^{2}(b+c)}=\sum \frac{3b^{2}c^{2}}{ab+ac}\geq \frac{3(ab+bc+ca)^{2}}{2(ab+bc+ca)}\geq \frac{3}{2}.3\sqrt[3]{(abc)^{2}}=\frac{9}{2}$

$\Rightarrow \sum \frac{a^{3}+5}{a^{3}(b+c)}\geq 9$

Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow a=b=c=1$

cái này thì quá chuẩn r, nhưng em thấy nếu a khác b khác c nhé, cứ thử thay, nó đều nhỏ hơn 9



#5
NTA1907

NTA1907

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1014 Bài viết

cái này thì quá chuẩn r, nhưng em thấy nếu a khác b khác c nhé, cứ thử thay, nó đều nhỏ hơn 9

Chắc là em thay nhầm rồi...em xem lại xem


Vũ trụ không có biên trong không gian, không có bắt đầu và kết thúc trong thời gian và chẳng có việc gì cho đấng sáng thế phải làm ở đây cả.

 


#6
bolobala123456

bolobala123456

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 50 Bài viết

vâng, máy tính của em có vđ, em làm kiểu này, có 1 tảng tn bị ngược dấu

$\sum \frac{a^{3}+5}{a^{3}(b+c)}\geq \sum \frac{1}{b+c}+5\sum \frac{1}{a^{3}(b+c)}=\sum \frac{1}{a+b}+5\sum \frac{\frac{1}{a^{2}}}{a(b+c)}\geq \sum \frac{1}{a+b}+\frac{5(\sum \frac{1}{a})^{2}}{2\sum ab}=\sum \frac{1}{a+b}+\sum \frac{5(\sum ab)^{2}}{\sum ab}\geq \sum \frac{1}{a+b}+\frac{15}{2}$



#7
bolobala123456

bolobala123456

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 50 Bài viết

Chắc là em thay nhầm rồi...em xem lại xem

đấy, em làm bị ngược 1 tảng






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh