Chủ đề này có 1 trả lời

[cristianoronaldo]

Cho các số thực dương a,b,c,d thỏa mãn $a+b+c+d=4$. Chứng minh rằng:

$\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{cd}+\frac{1}{da}\geq a^2+b^2+c^2+d^2$

[KietLW9]

Cho các số thực dương a,b,c,d thỏa mãn $a+b+c+d=4$. Chứng minh rằng:

$\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{cd}+\frac{1}{da}\geq a^2+b^2+c^2+d^2$

Lời giải. 

Áp dụng bất đẳng thức $\text{AM-GM}$, ta được: 

$a^2+c^2=\frac{2ca(a^2+c^2)}{2ca}\leqslant \frac{\frac{(a^2+c^2+2ac)^2}{4}}{2ac}=\frac{(a+c)^4}{8ac}=\frac{(a+c)^4bd}{8abcd}\leqslant \frac{(a+c)^4(b+d)^2}{32abcd}$

Tương tự: $b^2+d^2\leqslant \frac{(b+d)^4(a+c)^2}{32abcd}$

Như vậy, ta cần chứng minh bất đẳng thức mạnh hơn là: 

$\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{cd}+\frac{1}{da}\geqslant \frac{(a+c)^2(b+d)^2[(a+c)^2+(b+d)^2]}{32abcd}$

hay

$\frac{(a+c)(b+d)}{abcd}\geqslant \frac{(a+c)^2(b+d)^2[(a+c)^2+(b+d)^2]}{32abcd}$

hay 

$(a+c)(b+d)[(a+c)^2+(b+d)^2]\leqslant 32$

Đây là một bất đẳng thức đúng do: $(a+c)(b+d)[(a+c)^2+(b+d)^2]=\frac{2(a+c)(b+d)[(a+c)^2+(b+d)^2]}{2}\leqslant \frac{\frac{[(a+c)^2+2(a+c)(b+d)+(b+d)^2]^2}{4}}{2}=\frac{(a+b+c+d)^4}{8}=32$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=d=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 16-05-2021 - 10:23