Cho các số thực dương a,b,c,d thỏa mãn $a+b+c+d=4$. Chứng minh rằng:
$\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{cd}+\frac{1}{da}\geq a^2+b^2+c^2+d^2$
Cho các số thực dương a,b,c,d thỏa mãn $a+b+c+d=4$. Chứng minh rằng:
$\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{cd}+\frac{1}{da}\geq a^2+b^2+c^2+d^2$
Nothing in your eyes
Cho các số thực dương a,b,c,d thỏa mãn $a+b+c+d=4$. Chứng minh rằng:
$\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{cd}+\frac{1}{da}\geq a^2+b^2+c^2+d^2$
Lời giải.
Áp dụng bất đẳng thức $\text{AM-GM}$, ta được:
$a^2+c^2=\frac{2ca(a^2+c^2)}{2ca}\leqslant \frac{\frac{(a^2+c^2+2ac)^2}{4}}{2ac}=\frac{(a+c)^4}{8ac}=\frac{(a+c)^4bd}{8abcd}\leqslant \frac{(a+c)^4(b+d)^2}{32abcd}$
Tương tự: $b^2+d^2\leqslant \frac{(b+d)^4(a+c)^2}{32abcd}$
Như vậy, ta cần chứng minh bất đẳng thức mạnh hơn là:
$\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{cd}+\frac{1}{da}\geqslant \frac{(a+c)^2(b+d)^2[(a+c)^2+(b+d)^2]}{32abcd}$
hay
$\frac{(a+c)(b+d)}{abcd}\geqslant \frac{(a+c)^2(b+d)^2[(a+c)^2+(b+d)^2]}{32abcd}$
hay
$(a+c)(b+d)[(a+c)^2+(b+d)^2]\leqslant 32$
Đây là một bất đẳng thức đúng do: $(a+c)(b+d)[(a+c)^2+(b+d)^2]=\frac{2(a+c)(b+d)[(a+c)^2+(b+d)^2]}{2}\leqslant \frac{\frac{[(a+c)^2+2(a+c)(b+d)+(b+d)^2]^2}{4}}{2}=\frac{(a+b+c+d)^4}{8}=32$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=d=1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 16-05-2021 - 10:23
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh