Đến nội dung

Hình ảnh

$P=\sum \frac{x^3+1}{\sqrt{x^4+y+z}}-\frac{8\sum xy}{\sum xy+1}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
fifa

fifa

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 53 Bài viết

Bài 1:

Cho $x,y,z>0$ thoả mãn $xyz=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của:

$P=\sum \frac{x^3+1}{\sqrt{x^4+y+z}}-\frac{8\sum xy}{\sum xy+1}$

 

Bài 2:

Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $x+y+x\leq 2$. Tìm giá trị nhỏ nhất của:

$A=\frac{x\sqrt{x}}{x+\sqrt{xy}+y}+\frac{y\sqrt{y}}{y+\sqrt{yz}+z}+\frac{z\sqrt{z}}{z+\sqrt{zx}+x}+\frac{1}{27\sqrt{xyz}}$



#2
phamngochung9a

phamngochung9a

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THPT
  • 480 Bài viết

Bài 1:

Cho $x,y,z>0$ thoả mãn $xyz=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của:

$P=\sum \frac{x^3+1}{\sqrt{x^4+y+z}}-\frac{8\sum xy}{\sum xy+1}$

Bài 1:

Ta tìm cách đánh giá đại lượng $\sum \frac{x^{3}+1}{\sqrt{x^{4}+y+z}}$ về dạng hàm số đối với ẩn $ab+bc+ca$

 

Ta có:

 

$\frac{x^{3}+1}{\sqrt{x^{4}+y+z}}=\frac{x\left ( x^{3}+1 \right )\sqrt{xy+yz+zx}}{x\sqrt{\left ( x^{4}+y+z \right )\left ( xy+yz+zx \right )}}\\=\frac{x\left ( x^{3}+1 \right )\sqrt{xy+yz+zx}}{x\sqrt{\left ( x^{3}+y^{2}z+yz^{2} \right )\left ( xyz+x^{2}y+zx^{2} \right )}} \\\geq \frac{2\left ( x^{4} +x \right )\sqrt{xy+yz+zx}}{x\left ( x^{3}+y^{2}z+yz^{2}+xyz+x^{2}y+x^{2}z \right )}\\=\frac{2x\left ( x^{3}+1 \right )\sqrt{xy+yz+zx}}{x\left ( x^{2}+yz \right )\left ( x+y+z \right )}\\=\frac{2x}{x+y+z}\sqrt{xy+yz+zx}$

 

Vậy:

 

$P=\sum \frac{x^{3}+1}{\sqrt{x^{4}+y+z}}-\frac{8\sum xy}{\sum xy+1}\geq 2\sqrt{xy+yz+zx}-8+\frac{8}{xy+yz+zx+1}$

 

Đặt $\sqrt{xy+yz+zx}=t$, khi đó:

 

$P \geq f(t)=2t+\frac{8}{t^{2}+1}-8$

 

Khảo sát hàm số trên với $t\in \left [ \sqrt{3};+\infty \right )$ ta được $\min P=-6+2\sqrt{3}\Leftrightarrow x=y=z=1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 29-07-2016 - 23:17





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh