Đến nội dung


Hình ảnh

Trại hè Hùng Vương 2016 Toán 10


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 7 trả lời

#1 superpower

superpower

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 492 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 31-07-2016 - 21:16

Bài 1: Giải phương trình trên tập số thực

$ 4\sqrt{x+1} + 2\sqrt{2x+3} = (x-1)(x^2 -2 ) $ 

 

Bài 2: Cho tam giác $ABC$ không cân ngoại tiếp đường tròn tâm $I$. Đường tròn $\omega$ tâm $O$ cắt $AI,BI,CI$ lần lượt tại $D,E,F$. Qua $I$ kẻ các đường thẳng song song $BC,CA,AB$ và lần lượt cắt $EF,DF,DE$  tại các điểm $K,L,M$

a/CMR $AK$ tiếp xúc với $\omega$ và $K,L,M$ thẳng hàng

b/Gọi $X$ là giao điểm của $AI$ và $EF$, $Y$ là giao điểm của $BI$ và $DF$, $Z$ là giao điểm của $CI$ và $DE$. Lấy $P$ bất kì trên $BC ( P \neq B,C, P $ không thuộc $AI$ ). CMR đường tròn ngoại tiếp các tam giác $PDX,PEY,PFZ$ cùng đi qua điểm $Q \neq P$ 

 

Bài 3: Cho $a,b,c$ là các số thực thoả $(a+b)(b+c)(c+a) \neq 0 $. CMR: 

$\sum (\frac{a}{a+b} )^2 + \frac{4abc}{(a+b)(b+c)(c+a)} \geq \sum \frac{a}{a+b} - \frac{1}{4} $

 

Bài 4: Cho bảng ô vuông kích thước $10x10$ được chia đều thành $100$ ô vuông, mỗi ô vuông cạnh $1$. Ban đầu người ta tô màu đen cho $k$ ô vuông nào đó trên bảng. Sau đó, nếu ô vuông nào chưa bị tô đen mà nằm cạnh ( có cạnh chung ) với ít nhất 2 ô vuông đen đã tô thì lập tức ô này cũng bị đen. Hãy xác định giá trị nhỏ nhất của $k$ để tới một lúc nào đó, tất cả các ô trên bảng đều bị tô đen 

 

Bài 5: Tìm các số $p,n $ thoả $p$ nguyên tố, $n$ là số nguyên dương sao cho

$p^3 -2p^2 + p +1= 3^n $

 



#2 superpower

superpower

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 492 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 31-07-2016 - 21:22

Bài 1: Giải phương trình trên tập số thực

$ 4\sqrt{x+1} + 2\sqrt{2x+3} = (x-1)(x^2 -2 ) $ 

 

Mình xin chém bài $1$ trước

ĐK: $x \geq -1 $

Ta có $4(\sqrt{x+1} -2 ) + 2(\sqrt{2x+3} -1 ) = x^3 -x^2 -2x -12 $

          $<=> (x-3)( \frac{4}{\sqrt{x+1} +2 } + \frac{4}{\sqrt{2x+3} +3} ) =(x-3)(x^2+2x+4 ) $

TH1: $x=3 $

TH2: $\frac{4}{\sqrt{x+1} +2 } + \frac{4}{\sqrt{2x+3} +3} =x^2+2x+4 $

Ta có $VP \geq 3 $

$VT \leq \frac{4}{2} + \frac{4}{1+3} =3 $

Do đó $VT=VP <=> x=-1 $

Vậy phương trình có 2 nghiệm $x=-1 ; x=3 $



#3 superpower

superpower

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 492 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 31-07-2016 - 21:26

Bài 5: Tìm các số $p,n $ thoả $p$ nguyên tố, $n$ là số nguyên dương sao cho

$p^3 -2p^2 + p +1= 3^n $

 

Khi $p=2 => n=1 $

Giả sử $p \geq 3 $

Ta có $p(p-1)^2 = 3^n -1 $

Khi đó, ta có $n$ phải chẵn vì VT $\vdots 4 $

Do đó $v_2(3^n-1) = v_2(3-1) + v_2(3+1) + v_2(n) -1 = 2+v_2(n) \geq 3  $

Do đó $p-1 $ \vdots 4 $

Suy ra VT $\vdots 16 $

Do đó VP $\vdots 16 => 2+v_2(n) \geq 4 => v_2(n) \geq 2 $

Do đó $n \vdots 4 => n=4k $

Khi đó $p(p-1)^2 = 3^{4k} -1 = 81^k -1 \vdots 80 \vdots 5 $

Suy  ra $p(p-1)^2 \vdots 5 => p=5 $

Khi $p=5 => n=4 $

Do đó có 2 cặp thoả là $(2;1) ; (5;4 ) $ 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi superpower: 31-07-2016 - 21:33


#4 Minhnguyenthe333

Minhnguyenthe333

    Trung úy

  • Thành viên
  • 804 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:PTNK-ĐHQG TPHCM
  • Sở thích:$\rho h \gamma S\iota cS$

Đã gửi 31-07-2016 - 23:56

Bài 3:
Đổi biến $\left ( \frac{a}{a+b},\frac{b}{b+c},\frac{c}{c+a} \right )\rightarrow (1-x,1-y,1-z)$
Dễ thấy $xyz=(1-x)(1-y)(1-z)\iff 2xyz=1+\sum x-\sum xy$
BĐT$\iff \sum (1-x)^2+4xyz\geqslant 3-(x+y+z)+\frac{1}{4}$
$\iff x^2+y^2+z^2+4xyz\geqslant x+y+z-\frac{1}{4}$
Thay $2xyz=1+\sum x-\sum xy$
$\iff x^2+y^2+z^2+2+2(x+y+z)-2(xy+yz+zx)\geqslant x+y+z-\frac{1}{4}$
$\iff (x+y+z)^2-3(x+y+z)+\frac{9}{4}\geqslant 0\iff [2(x+y+z)-3]^2\geqslant 0$ (luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra khi $\sum \frac{a}{a+b}=\frac{3}{2}\iff ....$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnguyenthe333: 01-08-2016 - 00:04


#5 I Love MC

I Love MC

    Đại úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1861 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Quốc Học
  • Sở thích:Number theory,Combinatoric

Đã gửi 01-08-2016 - 09:25

Cách $2$ 
Đầu tiên ta xét $p=2 \Rightarrow n=1$ . Nên $(p,n)=(2,1)$ một nghiệm của phương trình (1) 
Xét $p>2$ tức là $p$ lẻ . Bằng việc xét modulo $4$ thì ta có $n$ chẵn 
Ta viết lại phương trình :  
$p(p-1)^2=3^n-1 \equiv 1-1 \equiv 0 \pmod{8}$ 
Nếu $p \equiv 3 \pmod{4} \Rightarrow 4||(p-1)^2$ nhưng mà $p(p-1)^2 \vdots 8$ nên trường hợp này không xảy ra ! 

Suy ra $p \equiv 1 \pmod{4}$ kéo theo $VT \vdots 16$ 
Ta có $3^4-1 \vdots 16$ mà cộng thêm việc $ord_16(3)=4$  
Suy ra muốn $3^n-1 \vdots 16$ thì $ord_16(3)=4|n$ suy ra $n \vdots 4$ 
Ta có vì $4|n$ nên $3^n-1 \equiv 1-1 \equiv 0 \pmod{5}$ 
Do vậy $p=5$ kéo theo $n=4$ 
Kết luận : $(p,n)=(2,1),(5,4)$ 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi I Love MC: 01-08-2016 - 09:33


#6 QQspeed22

QQspeed22

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 73 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 01-08-2016 - 14:28

Cách $2$ 
Ta có vì $4|n$ nên $3^n-1 \equiv 1-1 \equiv 0 \pmod{5}$ 
Do vậy $p=5$ kéo theo $n=4$ 
 

Tại sao lại có điều này vậy ạ



#7 I Love MC

I Love MC

    Đại úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1861 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Quốc Học
  • Sở thích:Number theory,Combinatoric

Đã gửi 02-08-2016 - 08:59

Khi $p=2 => n=1 $

Giả sử $p \geq 3 $

Ta có $p(p-1)^2 = 3^n -1 $

Khi đó, ta có $n$ phải chẵn vì VT $\vdots 4 $

Do đó $v_2(3^n-1) = v_2(3-1) + v_2(3+1) + v_2(n) -1 = 2+v_2(n) \geq 3  $

Do đó $p-1 $ \vdots 4 $

Suy ra VT $\vdots 16 $

Do đó VP $\vdots 16 => 2+v_2(n) \geq 4 => v_2(n) \geq 2 $

Do đó $n \vdots 4 => n=4k $

Khi đó $p(p-1)^2 = 3^{4k} -1 = 81^k -1 \vdots 80 \vdots 5 $

Suy  ra $p(p-1)^2 \vdots 5 => p=5 $

Khi $p=5 => n=4 $

Do đó có 2 cặp thoả là $(2;1) ; (5;4 ) $ 

bạn vs mình đều mắc phải lỗi này :) 



#8 Minhnguyenthe333

Minhnguyenthe333

    Trung úy

  • Thành viên
  • 804 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:PTNK-ĐHQG TPHCM
  • Sở thích:$\rho h \gamma S\iota cS$

Đã gửi 02-08-2016 - 09:36

Bài 5: Tìm các số $p,n $ thoả $p$ nguyên tố, $n$ là số nguyên dương sao cho

$p^3 -2p^2 + p +1= 3^n $

Giải theo kiểu này:

$\iff (p+1)(p^2-3p+4)=3(3^{n-1}+1)$

Đặt $d=\gcd(p+1,p^2-3p+4)\Longrightarrow d=\gcd(p+1,-5p+3)=\gcd(p+1,8)\iff d\mid 8$

Dễ thấy $\gcd(3,3^{n-1}+1)=1$ nên ta có các trường hợp sau:

$d=1\Longrightarrow \left\{\begin{matrix} p^2-3p+4=3^{n-1}+1\\ p+1=3 \end{matrix}\right.\iff (n,p)=(1,2)$

 

$d=2\Longrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{p^2-3p+4}{2}=\frac{3^{n-1}+1}{4}\\ \frac{p+1}{2}=3 \end{matrix}\right.\iff (n,p)=(4,5)$

 

$d=4\Longrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{p^2-3p+4}{4}=\frac{3^{n-1}+1}{16}\\ \frac{p+1}{4}=3 \end{matrix}\right.\iff PT$ vô nghiệm

 

$d=8\Longrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{p^2-3p+4}{8}=\frac{3^{n-1}+1}{64}\\ \frac{p+1}{8}=3 \end{matrix}\right.\iff PT$ vô nghiệm

 

Vậy $(n,p)=(1,2);(4,5)$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnguyenthe333: 02-08-2016 - 10:29





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh