Chủ đề này có 3 trả lời

[Ispectorgadget]

Cho $a,b$ là hai phần tử tùy ý của nhóm X. Chứng minh rằng:

1) $ab$ và $ba$ có cùng cấp.

2) $a$ và $b^{-1}ab$ có cùng cấp.

[bangbang1412]

$1)$ Có hai cách định nghĩa cấp của một phần tử $x$ , một là số nguyên dương nhỏ nhất $n$ mà $x^{n}=e$  hoặc là cấp của nhóm sinh bởi $x$ hay là cấp của $[x]=\left \{ x^{n} | n \in Z\right \}$ hiển nhiên ta có $b[ab]=[ba]b$ . Với mọi nhóm con của $X$ thì hai lớp kề trái về kề phải sinh bởi cùng một phần tử có cấp bằng nhau bằng bậc nhóm con nên bậc của $ord(ab)=|b[ab]|=|[ba]b|=ord(ba)$

$2)$ Nếu có một đồng cấu nhóm $f$ đi từ $G$ vào $H$ thì cấp của $g$ sẽ chia hết cho cấp $f(g)$ , do ánh xạ $b^{-1}xb$ là song ánh nên $ord(a)=ord(b^{-1}ab)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 05-08-2016 - 22:57

[vutuanhien]

Bổ đề 1: Nếu có một đồng cấu nhóm $\varphi :G\rightarrow H$ thì $\forall a\in G$ mà $\left |a \right |$ là hữu hạn, thì ta có $  \left | \varphi (a) \right | | \left | a \right |$

Chứng minh: Giả sử $\left | a \right |=m,  \left | \varphi (a) \right |=n$. Ta có: $(\varphi (a))^m=\varphi (a^m)=\varphi(e_{G})=e_{H}$. Do đó ta có $n | m$ hay $  \left | \varphi (a) \right | | \left | a \right |$

Bổ đề 2: Nếu có một đẳng cấu nhóm $\varphi :G\rightarrow H$, thì ta có $ \left | a \right | = \left | \varphi (a) \right |$

Chứng minh: Nếu $\left | a \right |$ là hữu hạn, thì từ bổ đề 1, ta có $  \left | \varphi (a) \right | | \left | a \right |$ hay $n | m$ . Xét ánh xạ ngược $\varphi^{-1}$ lại cho ta $m |  n$. Vậy $n=m$

Trong trường hợp $\left |a \right |$ là vô hạn, còn $ \left | \varphi (a) \right |$ là hữu hạn, thì xét ánh xạ ngược $\varphi^{-1}$ cũng cho ta đpcm. Tóm lại  $ \left | a \right | = \left | \varphi (a) \right |$ trong mọi trường hợp.

 

Trở lại bài toán, xét ánh xạ $c_b(x):x\rightarrow b^{-1}xb$ thì dễ chứng minh đây là một tự đẳng cấu của $X$. Do đó $\left | a \right | = \left | c_b(a) \right |$ tức là $a$ và $b^{-1}ab$ có cùng cấp.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vutuanhien: 05-08-2016 - 20:25

[vutuanhien]

Kí hiệu $\left | a \right |$ là cấp của $a$. Do em quen tay nên mới viết  $\left | a \right |$ thay cho $ord(a)$