Chủ đề này có 3 trả lời

[Nguyen Huy Hoang]

$\LARGE \left\{\begin{matrix} (16x^4-20x^2+5)(16y^4-20y^2+5)=\frac{1}{xy}\\ x^2+y^2=1 \end{matrix}\right.$

 

*Có lẽ sử dụng pp lượng giác hóa*

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Huy Hoang: 06-08-2016 - 15:32

[DangHongPhuc]

$\LARGE \left\{\begin{matrix} (16x^4-20x^2+5)(16y^4-20y^2+5)=\frac{1}{xy}\\ x^2+y^2=1 \end{matrix}\right.$

 

*Có lẽ sử dụng pp lượng giác hóa*

Mình nghĩ không dùng lượng giác đâu vì nếu đặt $sin\alpha =x$ và $cos\alpha =y$ thì phương trình thứ hai bị thừa

[An Infinitesimal]

$\LARGE \left\{\begin{matrix} (16x^4-20x^2+5)(16y^4-20y^2+5)=\frac{1}{xy}\\ x^2+y^2=1 \end{matrix}\right.$

 

*Có lẽ sử dụng pp lượng giác hóa*

 

 

Mình nghĩ không dùng lượng giác đâu vì nếu đặt $sin\alpha =x$ và $cos\alpha =y$ thì phương trình thứ hai bị thừa

 

Bạn quên một con $x$, một con $y$ bên vế phải.

Đặt $x= \cos{t}, y=\sin{t}$ với $t\in (0, 2\pi)\setminus \{\frac{\pi}{2},\pi,\frac{3\pi}{2}\}.$

Phương trình thứ nhất được viết lại $\cos{(5t)}\sin{(5t)}=1.$

\[\cos{(5t)}=\sin{{(5t)}}=1 \vee \cos{(5t)}=\sin{{(5t)}}=-1.\]

Cả hai điều này đều vô lý!

[An Infinitesimal]

Bạn quên một con $x$, một con $y$ bên vế phải.

Đặt $x= \cos{t}, y=\sin{t}$ với $t\in (0, 2\pi)\setminus \{\frac{\pi}{2},\pi,\frac{3\pi}{2}\}.$

Phương trình thứ nhất được viết lại $\cos{(5t)}\sin{(5t)}=1.$

\[\cos{(5t)}=\sin{{(5t)}}=1 \vee \cos{(5t)}=\sin{{(5t)}}=-1.\]

Cả hai điều này đều vô lý!

 

Có thể giải không lượng giác hóa (nhưng dài dòng hơn) bằng cách chứng minh với $x\in [-1,1]$ thì 

\[ -1\le 16x^5-20x^3+5x\le 1.\]

Thật vậy, \[16*x^5-20x^3+5x\le 1 \Leftrightarrow (x - 1)(4x^2 + 2x - 1)^2\ge 0.\]

 

\[16x^5-20x^3+5x\ge -1 \Leftrightarrow  (x + 1)(4x^2 - 2x - 1)^2\ge 0.\]

 

Từ hệ ta có điều kiện $xy\neq 0, (1-x^2)(1-y^2)\neq 0.$

Hệ phương trình suy ra 

 

\[\left\{\begin{matrix} 16x^5-20x^3+5x=1,\\ 16y^5-20y^3+5y=1,\\x^2+y^2=1. \end{matrix}\right.\]

hoặc 

\[\left\{\begin{matrix} 16x^5-20x^3+5x=-1,\\ 16y^5-20y^3+5y=-1,\\x^2+y^2=1. \end{matrix}\right.\]

Ta chứng minh các hệ này vô nghiệm. Thí dụ hệ 1 tương đương

 

\[\left\{\begin{matrix} 4x^2 \pm 2x - 1=0,\\ 4y^2 +\pm 2y - 1=0,\\x^2+y^2=1. \end{matrix}\right.\]

Suy ra $x+y=\pm 2$ (vô lý!)