Giải phương trình $\frac{x^6}{(x+4)\sqrt{x+1}+3x+4}=\frac{x^4+1}{x+3+2\sqrt{x+1}}$
Giải phương trình $\frac{x^6}{(x+4)\sqrt{x+1}+3x+4}=\frac{x^4+1}{x+3+2\sqrt{x+1}}$
#1
Đã gửi 09-08-2016 - 13:10
#2
Đã gửi 09-08-2016 - 18:02
Giải phương trình $\frac{x^6}{(x+4)\sqrt{x+1}+3x+4}=\frac{x^4+1}{x+3+2\sqrt{x+1}}$
Em xin trình bày cách giải thô của mình bởi hiện em chưa tìm được cách nào khác trừ cách này
Quy đồng PT ban đầu và thu gọn thì ta được pt
$x^7+3x^6-3x^5-4x^4-3x-4 + \sqrt{x+1}(2x^6-x^5-4x^4-x-4) = 0$
$<=>x^7+3x^6-3x^5-4x^4-3x-4 =-\sqrt{x+1}(2x^6-x^5-4x^4-x-4)$
Bình phương , khử căn ta được
$x^{14}+6x^{13}+3x^{12}-26x^{11}-15x^{10}+24x^9+{10}x^8-26x^7-6x^6+48x^5+32x^4+9x^2+24x+16=4x^{13}-19x^{11}-7x^{10}+24x^9+{12}x^8-18x^7+2x^6+48x^5+32x^4+x^3+9x^2+24x+16$
Thu gọn lại
$x^{14}+2x^{13}+3x^{12}-7x^{11}-8x^{10}-2x^8-8x^7-8x^6-x^3=0$
$<=> x^3(x+1)(x^2-x-1)(x^8+2x^7+5x^6-2x^5+4x^4+x^3+4x^2-2x+1)=0$
Với pt bậc 8 $x^8+2x^7+5x^6-2x^5+4x^4+x^3+4x^2-2x+1=0$ dễ CM được rằng nó vô nghiệm
Còn lại dễ rồi
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Zeref: 09-08-2016 - 18:06
#3
Đã gửi 09-08-2016 - 23:06
Giải phương trình $\frac{x^6}{(x+4)\sqrt{x+1}+3x+4}=\frac{x^4+1}{x+3+2\sqrt{x+1}}$
Bằng cách thử đặt $t=\sqrt{x+1}$, ta nhận thấy hai mẫu lần lượt là
\[ (t+1)^3, \text{ và } (t+1)^2+1.\]
Từ đó ta đặt $u=t+1=\sqrt{x+1}+1$ (điều kiện $u\ge 1$.
Dùng ẩn phụ không hoàn toàn này, ta có được phương trình
\[\frac{x^6}{u^3}= \frac{x^4+1}{u^2+1}.\]
Và dễ dàng nhận ra cách phân tích sau
\[(x^2 - u)(u^2x^4 + u^2 + ux^2 + x^4)=0.\]
Vì $u\ge 1$ nên nhân tử thứ hai dương nên \[x^2=u.\]
\[\Leftrightarrow x^2-1= \sqrt{x+1}.\]
Bằng cách bình phương hai vế với điều kiện $|x|\ge 1$, ta thu được phương trình bậc ba $x^3-2x-1=0.$
- eminemdech và Zeref thích
Đời người là một hành trình...
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh