5 replies to this topic

[lovemath99]

Tính tích phân:

1.$$\int_{0}^{1/9}(5^{3x}+\dfrac{x}{sin^2(2x+1)}+\dfrac{1}{\sqrt[5]{4x-1}})dx$$

2.$$\int_{1}^{e}(x.lnx)^2dx$$

 

[Minhnguyenthe333]

1) Trước tiên ta tìm $\int \frac{xdx}{\sin^2(2x+1)}$

 

Đặt $\left\{\begin{matrix}dv=\frac{1}{\sin^2(2x+1)}\iff v=-\frac{cot(2x+1)}{2}\\ u=x\iff du=1\end{matrix}\right.$

 

$\int \frac{xdx}{\sin^2(2x+1)}=-\frac{x\cot(2x+1)}{2}+\int \frac{\cot(2x+1)dx}{2}$

 

Đặt $t=2x+1\iff dt=2dx\implies \int \frac{\cot(2x+1)dx}{2}=\frac{1}{4}\int \cot(t)dt=\frac{\ln|\sin(2x+1)|}{4}$

 

$\implies \int \frac{xdx}{\sin^2(2x+1)}=\frac{\ln|\sin(2x+1)|-2x\cot(2x+1)}{4}$

Mặt khác

$\int 5^{3x}dx=\frac{125^x}{\ln(125)}$

 

Xét $\int \frac{1}{\sqrt[5]{4x-1}}dx$

Đặt $t=\sqrt[5]{4x-1}\iff x=\frac{t^5+1}{4}\implies dx=\frac{5t^4dt}{4}$

$\implies \int \frac{1}{\sqrt[5]{4x-1}}dx=\int \frac{5t^3dt}{4}=\frac{5t^4}{16}=\frac{5(4x-1)^{\frac{4}{5}}}{16}$

 

$\iff I=\frac{\ln|\sin(2x+1)|-2x\cot(2x+1)}{4}+\frac{5(4x-1)^{\frac{4}{5}}}{16}+\frac{125^x}{\ln(125)}$

 

 

2)Ta tìm nguyên hàm rồi thay số:

 

Đặt $\left\{\begin{matrix} u=\ln^2(x)\iff du=\frac{2\ln(x)}{x}\\ dv=x^2\iff v=\frac{x^3}{3}\end{matrix}\right.$

 

$\implies \int x^2.\ln^2(x)dx=\frac{2x^2.\ln^2(x)}{3}-\frac{2}{3}\int x^2.\ln(x)dx$

 

Tiếp tục đặt $u_0=\ln(x)\iff du_0=\frac{1}{x}$ và $dv_0=x^2\iff v_0=\frac{x^3}{3}$

 

$\implies \int x^2.\ln^2(x)dx=x^3\left (\frac{\ln^2(x)}{3}-\frac{2\ln(x)}{9}+\frac{2}{27}\right )\iff  \int_{1}^{e} x^2.\ln^2(x)dx=\frac{5e^3-2}{27}$

Edited by Minhnguyenthe333, 12-08-2016 - 17:58.

[lovemath99]

Ta tìm nguyên hàm rồi thay số:

Đặt $\left\{\begin{matrix}u=\ln^2(x)\iff du=\frac{2\ln(x)}{x}\\dv=x^2\iff v=\frac{x^3}{3}\end{matrix}\right.$

 

$\implies \int x^2.\ln^2(x)dx=\frac{2x^2.\ln^2(x)}{3}-\frac{2}{3}\int x^2.\ln(x)dx$

Tiếp tục đặt $u_0=\ln(x)\iff du_0=\frac{1}{x}$ và $dv_0=x^2\iff v=\frac{x^3}{3}$

 

$\implies \int x^2.\ln^2(x)dx=x^3\left (\frac{\ln^2(x)}{3}-\frac{2\ln(x)}{9}+\frac{2}{27}\right )\iff  \int_{1}^{e} x^2.\ln^2(x)dx=\frac{5e^3-2}{27}$

Mình cũng nghĩ ra cách này rồi nhưng không biết còn cách nào nhanh hơn không.

[Minhnguyenthe333]

Mình cũng nghĩ ra cách này rồi nhưng không biết còn cách nào nhanh hơn không.

Mình nghĩ 2 bài này dùng pp tích phân từng phần là hiệu quả nhất rồi...

[lovemath99]

Mình nghĩ 2 bài này dùng pp tích phân từng phần là hiệu quả nhất rồi...

Uk, mình cũng đang học tích phân từng phần.

Edited by lovemath99, 12-08-2016 - 17:51.

[Minhnguyenthe333]

Giúp mình nốt bài 1 luôn với.

Đặt $I$ là nguyên hàm cần tìm

$\int 5^{3x}dx=\frac{125^x}{\ln(125)}$

 

Xét $\int \frac{1}{\sqrt[5]{4x-1}}dx$

Đặt $t=\sqrt[5]{4x-1}\iff x=\frac{t^5+1}{4}\implies dx=\frac{5t^4dt}{4}$

$\implies \int \frac{1}{\sqrt[5]{4x-1}}dx=\int \frac{5t^3dt}{4}=\frac{5t^4}{16}=\frac{5(4x-1)^{\frac{4}{5}}}{16}$

 

$\iff I=\frac{\ln|\sin(2x+1)|-2x\cot(2x+1)}{4}+\frac{5(4x-1)^{\frac{4}{5}}}{16}+\frac{125^x}{\ln(125)}$