Chủ đề này có 11 trả lời

[Goddess Yoong]

Giải hệ phương trình

$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x^{2}+y}+\sqrt{3}=\sqrt{y^{2}-3x}+\sqrt{7}\\ \sqrt{y-1}+2y^{2}+1=\sqrt{x}+x^{2}+xy+3y \end{matrix}\right.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Goddess Yoong: 12-08-2016 - 17:12

[thuylinhnguyenthptthanhha]

 

Giải hệ phương trình

$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x^{2}+y}+\sqrt{3}=\sqrt{y^{2}-3x}+\sqrt{7}\\ \sqrt{y-1}+2y^{2}+1=\sqrt{x}+x^{2}+xy+3y \end{matrix}\right.$

 

PT (2) liên hợp được $y-x-1=0$

Thế $y=x+1$ vào $(1)$ rồi xét hàm $f(x)=\sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2-x+1}$ luôn đồng biến trên $R$

Suy ra $f(x)=f(2)$

$=>............$

[VODANH9X]

 

Giải hệ phương trình

$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x^{2}+y}+\sqrt{3}=\sqrt{y^{2}-3x}+\sqrt{7}\\ \sqrt{y-1}+2y^{2}+1=\sqrt{x}+x^{2}+xy+3y \end{matrix}\right.$

 

ĐKXĐ:$x\geq 0,y\geq 1$

Pt 2 $\Leftrightarrow (x-y+1)(\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{y-1}}+x+2y-1)=0$

Vì $x\geq 0,y\geq 1$ nên $x-y+1=0$

Thay vào pt1 ta được $\sqrt{x^{2}+x+1}+\sqrt{3}=\sqrt{x^{2}-x+1}+\sqrt{7}$

               $\Leftrightarrow (x-2)(\frac{x+3}{\sqrt{x^{2}+x+1}+\sqrt{7}}-\frac{x+1}{\sqrt{x^{2}-x+1}+\sqrt{3}})=0$

                $\Leftrightarrow x=2$ vế còn lại dương với $x\geq 0$

Vậy $x=2,y=3$

[Goddess Yoong]

ĐKXĐ:$x\geq 0,y\geq 1$

Pt 2 $\Leftrightarrow (x-y+1)(\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{y-1}}+x+2y-1)=0$

Vì $x\geq 0,y\geq 1$ nên $x-y+1=0$

Thay vào pt1 ta được $\sqrt{x^{2}+x+1}+\sqrt{3}=\sqrt{x^{2}-x+1}+\sqrt{7}$

               $\Leftrightarrow (x-2)(\frac{x+3}{\sqrt{x^{2}+x+1}+\sqrt{7}}-\frac{x+1}{\sqrt{x^{2}-x+1}+\sqrt{3}})=0$

                $\Leftrightarrow x=2$ vế còn lại dương với $x\geq 0$

Vậy $x=2,y=3$

Thay x+1-y=0 vào pt 1. Chứng minh vế còn lại dương với $x\geq 0$ như thế nào?

[thuylinhnguyenthptthanhha]

Thay x+1-y=0 vào pt 1. Chứng minh vế còn lại dương với $x\geq 0$ như thế nào?

$\frac{x+3}{M_1}>\frac{x+1}{M_1}>\frac{x+1}{M_2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thuylinhnguyenthptthanhha: 13-08-2016 - 09:44

[Goddess Yoong]

$\frac{x+3}{M_1}>\frac{x+1}{M_1}>\frac{x+1}{M_2}$

Với $x\geq 0$ thì M1>M2 mà

Sao có thể suy ra $\frac{x+1}{M1}> \frac{x+1}{M2}$ được

[VODANH9X]

Thay x+1-y=0 vào pt 1. Chứng minh vế còn lại dương với $x\geq 0$ như thế nào?

Mình xét hàm đó mà

[Goddess Yoong]

Mình xét hàm đó mà

Xét hàm kiểu gì bạn?

[An Infinitesimal]

Xét hàm kiểu gì bạn?

Trong đây, vài hướng tiếp cận đã được đưa ra. Nếu khảo sát hàm thì nên theo 

thuylinhnguyenthptthanhha

Nếu làm giữa chừng như trên mà xét hàm thì tính toán trở nên "khủng khiếp".

 

ĐKXĐ:$x\geq 0,y\geq 1$

Pt 2 $\Leftrightarrow (x-y+1)(\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{y-1}}+x+2y-1)=0$

Vì $x\geq 0,y\geq 1$ nên $x-y+1=0$

Thay vào pt1 ta được $\sqrt{x^{2}+x+1}+\sqrt{3}=\sqrt{x^{2}-x+1}+\sqrt{7}$

               $\Leftrightarrow (x-2)(\frac{x+3}{\sqrt{x^{2}+x+1}+\sqrt{7}}-\frac{x+1}{\sqrt{x^{2}-x+1}+\sqrt{3}})=0$

                $\Leftrightarrow x=2$ vế còn lại dương với $x\geq 0$

Vậy $x=2,y=3$

[thuylinhnguyenthptthanhha]

Với $x\geq 0$ thì M1>M2 mà

Sao có thể suy ra $\frac{x+1}{M1}> \frac{x+1}{M2}$ được

oái chết, sr em nhầm @@

[thuylinhnguyenthptthanhha]

 

Giải hệ phương trình

$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x^{2}+y}+\sqrt{3}=\sqrt{y^{2}-3x}+\sqrt{7}\\ \sqrt{y-1}+2y^{2}+1=\sqrt{x}+x^{2}+xy+3y \end{matrix}\right.$

 

ĐKXĐ:$x\geq 0,y\geq 1$

Pt 2 $\Leftrightarrow (x-y+1)(\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{y-1}}+x+2y-1)=0$

Vì $x\geq 0,y\geq 1$ nên $x-y+1=0$

Thay vào pt1 ta được $\sqrt{x^{2}+x+1}+\sqrt{3}=\sqrt{x^{2}-x+1}+\sqrt{7}$

               $\Leftrightarrow (x-2)(\frac{x+3}{\sqrt{x^{2}+x+1}+\sqrt{7}}-\frac{x+1}{\sqrt{x^{2}-x+1}+\sqrt{3}})=0$

                $\Leftrightarrow x=2$ vế còn lại dương với $x\geq 0$

Vậy $x=2,y=3$

Bài này dạo trc e có làm 1 lần, chày cối nhân liên hợp, hình như về sau chứng minh cx ổn 

nó ra thế này:

$1-\frac{2(2x-1)}{\sqrt{3(x^2+x+1)}+\sqrt{7(x^2-x+1)}}>0$

hình như cần c/m đc cái đó :-/

 

 

[An Infinitesimal]

ĐKXĐ:$x\geq 0,y\geq 1$

Pt 2 $\Leftrightarrow (x-y+1)(\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{y-1}}+x+2y-1)=0$

Vì $x\geq 0,y\geq 1$ nên $x-y+1=0$

Thay vào pt1 ta được $\sqrt{x^{2}+x+1}+\sqrt{3}=\sqrt{x^{2}-x+1}+\sqrt{7}$

               $\Leftrightarrow (x-2)(\frac{x+3}{\sqrt{x^{2}+x+1}+\sqrt{7}}-\frac{x+1}{\sqrt{x^{2}-x+1}+\sqrt{3}})=0$

                $\Leftrightarrow x=2$ vế còn lại dương với $x\geq 0$

Vậy $x=2,y=3$

 

Thêm một "mẹo" để giảm tính phức tạp khi xử lý phần còn lại.

 

\[\sqrt{x^{2}+x+1}+\sqrt{3}=\sqrt{x^{2}-x+1}+\sqrt{7}.\]

(Bình phương 2 vế và thu gọn)

\[\Leftrightarrow x-2=\sqrt{7(x^{2}-x+1)}-\sqrt{3(x^{2}+x+1)}.\]

\[\Leftrightarrow x-2=\frac{2(2x-1)(x-2)}{\sqrt{7(x^{2}-x+1)}+\sqrt{3(x^{2}+x+1)}}.\]

 

Vì \[0<\sqrt{7(x^{2}-x+1)}+\sqrt{3(x^{2}+x+1)}\ge \sqrt{7}(x-1/2)+\sqrt{3}(x+1/2)= (\sqrt{7}+\sqrt{3})x+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{7}}{2}>4x-2\]

 

nên phương trình trên tương đương $ x=2 $.

 

Xin nhắc lại, kỹ thuật khảo sát hàm như 

 

 

là cách nhẹ nhàng  hơn cả.

 

 

PT (2) liên hợp được $y-x-1=0$

Thế $y=x+1$ vào $(1)$ rồi xét hàm $f(x)=\sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2-x+1}$ luôn đồng biến trên $R$

Suy ra $f(x)=f(2)$

$=>............$

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vanchanh123: 13-08-2016 - 17:25