Đến nội dung


Hình ảnh

Trường hè toán học 2016 bài kiểm tra số 1


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 8 trả lời

#1 mathstu

mathstu

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 51 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Hải Dương

Đã gửi 13-08-2016 - 00:30

nguồn: fb 

Hình gửi kèm

  • ds.jpg

Họ cười tôi vì tôi khác họ    

             

             Tôi cười họ vì tôi mắc cười    >:)  >:)  >:) 


#2 Hoang Nhat Tuan

Hoang Nhat Tuan

    Hỏa Long

  • Thành viên
  • 974 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:11 Toán, THPT chuyên Võ Nguyên Giáp, Quảng Bình
  • Sở thích:Geometry, Combinatorial

Đã gửi 13-08-2016 - 10:37

Câu 3: 

H3.png

Theo tính chất quen thuộc thì $E,F,Z$ thẳng hàng.

Gọi $T$ là điểm $Miquel$ của tứ giác toàn phần $BFECZA$, ta sẽ chứng minh $XYZT$ là tứ giác nội tiếp.

Dễ dàng chứng minh $M,H,T$ thẳng hàng, suy ra $MGTZ$ là tứ giác nội tiếp.

Mặt khác có $\widehat{TNY}=\widehat{TNK}=\widehat{TAK}=\widehat{TAH}=\widehat{TGH}=\widehat{TGY}$ nên tứ giác $TGNY$ là tứ giác nội tiếp.

Suy ra $T$ cũng là điểm $Miquel$ của tứ giác toàn phần $YZMNXG$ nên tứ giác $XYZT$ nội tiếp.

Để chỉ ra 2 đường tròn $(XYZT)$ và $(O)$ tiếp xúc tại $T$ ta chỉ cần chứng minh $\widehat{BTZ}=\widehat{TYZ}+\widehat{TAB}$ $(*)$

Mà $\widehat{TYZ}=\widehat{TNA}=\widehat{TBA}$ nên hiển nhiên $(*)$ đúng.

Vậy 2 đường tròn $(XYZ)$ và $(O)$ tiếp xúc nhau.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Nhat Tuan: 13-08-2016 - 10:47

Ngài có thể trói cơ thể tôi, buộc tay tôi, điều khiển hành động của tôi: ngài mạnh nhất, và xã hội cho ngài thêm quyền lực; nhưng với ý chí của tôi, thưa ngài, ngài không thể làm gì được.

#3 minhrongcon2000

minhrongcon2000

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 213 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:PTNK-ĐHQG TPHCM
  • Sở thích:Hình học

Đã gửi 13-08-2016 - 15:11

Bài 1:

Xét hàm số $f(x)=\frac{x+a}{1+ax}$.

Khi đó, $f'(x)=\frac{1+ax-a(x+a)}{(1+ax)^{2}}=\frac{1-a^{2}}{(1+ax)^{2}}<0$ $\forall \frac{1}{2}<a<1$.

Mặt khác, $x_{1}=\frac{a_{1}+x_{0}}{1+a_{1}x_{0}}=\frac{a_{1}+a_{0}}{1+a_{1}a_{0}}>a_{0}=x_{0}$ nên $(x_{n})$ là dãy tăng.

Và bằng qui nạp, ta chứng minh được $x_{n}<1$ $\forall n \geqslant 0$ nên dãy $(x_{n})$ hội tụ. Vì $(a_{n})$ là dãy bị chặn nên có thể trích ra một dãy con $(a_{n_{k}})$ hội tụ. Nếu ta xét dãy con $(x_{n_{k}})$ thì $\lim_{k\rightarrow \infty}x_{n_{k}}=\lim_{n\rightarrow\infty}x_{n}$. Giả sử $(x_{n_{k}})\rightarrow x$ và $(a_{n_{k}})\rightarrow a$. Ta sẽ có phương trình 

$x=\frac{x+a}{1+ax}\Leftrightarrow x=1$ (do $a>0$ và $x>0$). Như vậy $\lim_{n\rightarrow \infty}x_{n}=1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhrongcon2000: 13-08-2016 - 15:15

$\lim_{x \to \infty } Love =+\infty$


#4 bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản trị
  • 1573 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Université de Rennes 1
  • Sở thích:Motivic cohomology and the theory of motives

Đã gửi 13-08-2016 - 15:31

Bài 2 : Dễ thấy nếu hàm $f(x)$ thỏa mãn thì hàm $f(x)-f(0)$ cũng thỏa mãn , không giảm tính tổng quát giả sử $f(0)=0$ , ta thấy $f(x+1)-f(x)$ là số hữu tỷ với mọi $x \in R$ 

Bổ đề  : Hàm số liên tục $f$ mà nhận giá trị hữu tỷ với mọi $x$ thì đó là hàm hằng trên $R$ .

Chứng minh : Giả sử có $f(x)>f(z)$ suy ra tồn tại $y$ nằm giữa $f(x)>y>f(z)$ , theo định lý Bolzano tồn tại $\alpha$ mà $f(\alpha)=y$ trong đó $\alpha$ nằm giữa $x,z$  , hiển nhiên giữa hai số hữu tỷ có một số vô tỷ nên có thể giả sử $y$ vô tỷ , khi này vô lý vì $f(\alpha)=y$ vô tỷ . Vậy $f$ là hàm hằng trên $R$ .

Quay trở lại bài toán ta thấy $f(x+1)-f(x)$ phải là hàm hằng trên $R$ tức là $f(x+1)=f(x)+f(1)$ . Giờ với mọi $n$ nguyên ta có $f(n)=nf(1)$ . Với mọi $r \in Q$ đặt ta chứng minh được rằng với mọi số hữu tỷ $a$ thì $f(x+a)=f(x)+f(a)$ . Theo đó cũng có $f(r)=rf(1)$ . Giờ do $f$ liên tục nên với mọi $x$ tồn tại $(x_{n})$ mà $lim x_{n}=x$ với $x_{n} \in Q$ , nên $f(x) = lim f(x_{n}) = f(1) lim x_{n} = xf(1)$ 

Vậy tất cả các hàm số cần tìm là $ax+b$ với $a \in Q$ 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 13-08-2016 - 15:33

Declare to yourself that, from now on, your life is dedicated to one and only one woman, the greatest mistress of your life, the tenderest woman you have ever encountered, Mathematica.


#5 canhhoang30011999

canhhoang30011999

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 634 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A1K43 THPT chuyên Phan Bội Châu
  • Sở thích:toán

Đã gửi 13-08-2016 - 15:51

Bài 1:

Xét hàm số $f(x)=\frac{x+a}{1+ax}$.

Khi đó, $f'(x)=\frac{1+ax-a(x+a)}{(1+ax)^{2}}=\frac{1-a^{2}}{(1+ax)^{2}}<0$ $\forall \frac{1}{2}<a<1$.

Mặt khác, $x_{1}=\frac{a_{1}+x_{0}}{1+a_{1}x_{0}}=\frac{a_{1}+a_{0}}{1+a_{1}a_{0}}>a_{0}=x_{0}$ nên $(x_{n})$ là dãy tăng.

Và bằng qui nạp, ta chứng minh được $x_{n}<1$ $\forall n \geqslant 0$ nên dãy $(x_{n})$ hội tụ. Vì $(a_{n})$ là dãy bị chặn nên có thể trích ra một dãy con $(a_{n_{k}})$ hội tụ. Nếu ta xét dãy con $(x_{n_{k}})$ thì $\lim_{k\rightarrow \infty}x_{n_{k}}=\lim_{n\rightarrow\infty}x_{n}$. Giả sử $(x_{n_{k}})\rightarrow x$ và $(a_{n_{k}})\rightarrow a$. Ta sẽ có phương trình 

$x=\frac{x+a}{1+ax}\Leftrightarrow x=1$ (do $a>0$ và $x>0$). Như vậy $\lim_{n\rightarrow \infty}x_{n}=1$

 

Bài này ko thể dùng pp xét hàm đc vì $a_n$ thay đổi 

ta có $\frac{x_{n+1}-1}{x_{n+1}-1}=\frac{(x_{n}-1)(a_{n+1}-1)}{(x_{n}+1)(a_{n+1}+1)}$

nên $\frac{1-x_{n+1}}{1+x_{n+1}}=\prod_{i=0}^{n+1}\frac{1-a_{i}}{1+a_{i}}$

mà $0\leq \frac{1-a_i}{1+a_i}\leq \frac{1}{3}$

nên $0\leq \frac{1-x_{n+1}}{1+x_{n+1}}\leq \frac{1}{3^{n+1}}$

nên $lim x_{n}=1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi canhhoang30011999: 13-08-2016 - 15:51


#6 redfox

redfox

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 100 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Sở thích:furry

Đã gửi 13-08-2016 - 18:27

4b)Không.
Cột thứ $i$ chứa $10-i$ ô đỏ nên tổng số ô đỏ là $45$ không chia hết cho $10$.

#7 dungxibo123

dungxibo123

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 330 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Chuyên Toán Nguyễn Thượng Hiền
  • Sở thích:...

Đã gửi 13-08-2016 - 21:10

4a)có. vì ở cột 1 có 4 ô tô đỏ cột 2 có 3, cột 3 có 2, cột 4 có 1 và cột 5 thì không có nên có tất cả 10 ô được tô màu nên nếu có cách xếp thỏa thì mỗi hàng sẽ có 2 ô tô đỏ nhưng vì ở hàng 1 những ô tô đỏ là 1,2,3,4 tương tự hàng 2,3,4,5 thì lần lượt các bộ sau được tô đỏ (3,4,5);(4,5),(5)và rỗng. nên nếu có các xếp thỏa thì những số chung 1 hàng phải khác nhau. Nhưng vì số 5 xuất hiện cả 4 lần nên phải xếp ở 4 hàng khác nhau, những số còn lại xếp vào ta thấy có 3 số 4 nên phải xếp ở 3 hàng khác nhau ( vị chi ta đã xếp được ít nhất 2 hàng có 2 ô tô màu, và còn 3 hàng nữa chưa xếp được 2ô) và 2 số 3 phải xếp ở 2 hàng khác nhau nên có thêm 2 hàng nữa có 2 ô. vị chi là có 4 hàng có 2 ô. bây giờ còn lại 1 số 2 cứ nhét vào hàng còn lại. 


myfb : www.facebook.com/votiendung.0805
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~o0o~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
SỢ HÃI giúp ta tồn tại

NGHỊ LỰC giúp ta đứng vững

KHÁT VỌNG giúp ta tiến về phía trước

Võ Tiến Dũng  

:like  :like  :like  :like  :like 

 

 


#8 dungxibo123

dungxibo123

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 330 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Chuyên Toán Nguyễn Thượng Hiền
  • Sở thích:...

Đã gửi 15-08-2016 - 21:52

4a)có. vì ở cột 1 có 4 ô tô đỏ cột 2 có 3, cột 3 có 2, cột 4 có 1 và cột 5 thì không có nên có tất cả 10 ô được tô màu nên nếu có cách xếp thỏa thì mỗi hàng sẽ có 2 ô tô đỏ nhưng vì ở hàng 1 những ô tô đỏ là 1,2,3,4 tương tự hàng 2,3,4,5 thì lần lượt các bộ sau được tô đỏ (3,4,5);(4,5),(5)và rỗng. nên nếu có các xếp thỏa thì những số chung 1 hàng phải khác nhau. Nhưng vì số 5 xuất hiện cả 4 lần nên phải xếp ở 4 hàng khác nhau, những số còn lại xếp vào ta thấy có 3 số 4 nên phải xếp ở 3 hàng khác nhau ( vị chi ta đã xếp được ít nhất 2 hàng có 2 ô tô màu, và còn 3 hàng nữa chưa xếp được 2ô) và 2 số 3 phải xếp ở 2 hàng khác nhau nên có thêm 2 hàng nữa có 2 ô. vị chi là có 4 hàng có 2 ô. bây giờ còn lại 1 số 2 cứ nhét vào hàng còn lại. 

cái câu trả lời này hình như vẫn còn chưa chặt chẽ thì phải 


myfb : www.facebook.com/votiendung.0805
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~o0o~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
SỢ HÃI giúp ta tồn tại

NGHỊ LỰC giúp ta đứng vững

KHÁT VỌNG giúp ta tiến về phía trước

Võ Tiến Dũng  

:like  :like  :like  :like  :like 

 

 


#9 nhatt1k25cht

nhatt1k25cht

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 2 Bài viết

Đã gửi 22-08-2016 - 13:16

5a) Có. Ta xét bảng 5x5 sau:

  1   3   5   2   4 

  2   1   4   3   5

  3   5   1   4   2

  4   2   3   5   1

  5   4   2   1   3






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh