Đến nội dung


Hình ảnh

Trường hè toán học 2016 bài kiểm tra số 2


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1 mathstu

mathstu

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 51 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Hải Dương

Đã gửi 13-08-2016 - 11:16

Nguồn: fb của bạn Hiếu Digb

 


Đánh lại vì ảnh nhỏ.
Bài 5. Cho tứ giác lồi $ABCD$ nội tiếp đường tròn tâm $O$, giả sử $O$ không trùng giao điểm $G$ của $AC$ và $BD$ và $O$ không nằm trên đường thẳng $BD$.
Giả sử $AB$ cắt $CD$ tại $E$, $AD$ cắt $BC$ tại $F$. Đường thẳng $OG$ cắt $EF$ tại $I$.
a. chứng minh $BEIC$ $DFIC$ VÀ $OBID$ nội tiếp đường tròn
b. gọi $M$ $N$ là tâm của đường tròn $(BCE)$ và $(DCF)$. Gọi $P$ $Q$ là giao điểm của $(CMN)$ và $(OBD)$. Chứng minh $OI$ $PQ$ và $MN$ đồng quy và tam giác $EAF$ và $MON$ đồng dạng
Bài 6. cho đa thức $P(x)=x^n-(p-1)x+p$ trong đó $n\geq 2$ và $p$ là số nguyên tố. Chứng minh rằng nếu $P(x)$ phân tích thành 2 đa thức với hệ số nguyên khác đa thức hằng số thì $P(x)$ có nghiệm $z$ sao cho $\left | z \right |=1$
Bài 7 Cho $p>5$ là số nguyên tố và $p\neq 107$ ta viết
$\frac{1}{1^{2003}}+\frac{1}{2^{2003}}+...+\frac{1}{(P-1)^{2003}}=\frac{a}{b}$
Trong đó $a$ $b$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Chứng minh $p^2\setminus a$
@Zaraki: Cho phép mình gộp hai bài viết lại để mọi người dễ đọc + thấy được đề trên trang chủ.

Hình gửi kèm

  • v.jpg

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Zaraki: 13-08-2016 - 19:42

Họ cười tôi vì tôi khác họ    

             

             Tôi cười họ vì tôi mắc cười    >:)  >:)  >:) 


#2 lenhatsinh3

lenhatsinh3

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 86 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT An Nhơn 2
  • Sở thích:Pokemon, giải toán

Đã gửi 13-08-2016 - 13:27

Câu 5.a)2.png

 Ta có kết quả quen thuộc $O$ là trực tâm $\Delta GEF$$\Rightarrow OI\perp EF$. (có thể dùng hàng điểm điều hòa để chứng minh)

Gọi $K=(GAB)\cap (GCD)$ ta chứng minh $\widehat{EKO}$$=90^{\circ}$. Ta có $OKAD$ là tứ giác nội tiếp $(\widehat{AKD}=\widehat{AOD}=sdCD )$

$\widehat{EKO}=\widehat{AKO}-\widehat{AKG}=\widehat{ADO}-\widehat{ABD}=90^{\circ}$.Do đó $O,K,F$ thẳng hàng. ta còn có $E,G,K$ thẳng hàng.

$IGKF$ nội tiếp $\Rightarrow EA.EB=EG.EK=EI.EF\Rightarrow IFBA$ nội tiếp$\Rightarrow BIEC$ nội tiếp.

Từ đây dễ suy ra được $DFIC$ nội tiếp.

$\widehat{BID}=180^{\circ}-\widehat{FIB}-\widehat{EID}=180^{\circ}-2\widehat{C}=180-\widehat{BOD}$$\Rightarrow BODI$ nội tiếp.

 Câu b thì chưa chém được


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lenhatsinh3: 13-08-2016 - 13:28

:ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:

      :ukliam2:

            :ukliam2:

                  :ukliam2:

             :ukliam2:

        :ukliam2:  

     :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:


#3 anhquannbk

anhquannbk

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 477 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\textrm{ K17-FIT-HCMUS}$
  • Sở thích:$ \textrm{GEOMETRY} $, $ \textrm{Central Intelligence Agency}$

Đã gửi 13-08-2016 - 14:47

Bài 5: Theo định lý $ Brocard $ ta có $ OG $ vuông góc với $ EF $ tại $ I $ đồng thời $ I $ cũng là điểm $ Miquel $ của tứ giác toàn phần $ ABCDEF$ suy ra các tứ giác $ BEIC, DCIF$ nội tiếp. Sử dụng hàng điểm ta chứng minh được $ IO$ là phân giác $ BID$ mà $ OB=OD$ nên tứ giác $ BIDO$ nội tiếp.

Gọi $ K$ là giao điểm của $ MN$ và $ IO$.

Ta chứng minh $ MINO$ nội tiếp.

Dễ thấy $ OM, ON$ là các trung trực của $ BC, CD$

Ta có: $ \angle IMO= \angle IMC +\angle OMC = 2\angle CEI+ \angle BIC  $

$ \angle INO= \angle INC +\angle CNO =2\angle IFC +\angle CID $

Suy ra $\angle OMI+ \angle INO = 2\angle CEI +2 \angle CFI +\angle BIC +\angle CID =2(180^0-\angle BCD) +\angle BID =\angle BOD +180^0- \angle BOD  =180^0 $

nên $ OMIN$ nội tiếp suy ra $ KI.KO= KM.KN$ dẫn đến $ K$ nằm trên trục đẳng phương của $ (OBID)$ và $ (CMN)$

mà $ PQ$ là trục đẳng phương của $ (CMN)$ và $ (OBID)$ suy ra $ PQ, IO, MN $ đồng quy.

Ta có $ \angle MON =\dfrac{1}{2} \angle BOD =\angle EAF$

$ \angle OMN =\dfrac{1}{2} \angle BMI =\angle BEI $

suy ra $ \bigtriangleup MON \sim \bigtriangleup EAF$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anhquannbk: 13-08-2016 - 15:00


#4 bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản trị
  • 1573 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Université de Rennes 1
  • Sở thích:Motivic cohomology and the theory of motives

Đã gửi 13-08-2016 - 17:34

Bài $4$ : Xét một cách tổng quát đa thức $f(x)=a_{0}+a_{1}x+....+a_{n}x^{n}$ trong đó $a_{0}$ là một số nguyên tố và $|a_{0}|  = |a_{1}|+...+|a_{n}|$ , giả sử đa thức $f(x)$ khả quy khi đó tồn tại một đa thức $g(x)$ là ước của $f(x)$ mà mà tích modul $k$ nghiệm của $g(x)$ ( $k = deg g$) là $1$ do đó tồn tại $|z|\leq 1$ ( số modul nhỏ nhất) . Khi đó ta có

$$|a_{0}|=|a_{1}z+....+a_{n}z^{n}| \leq \sum_{i=1}^{n}|a_{i}|$$ 

Đẳng thức phải xảy ra tức là $|z|=1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 13-08-2016 - 20:08

Declare to yourself that, from now on, your life is dedicated to one and only one woman, the greatest mistress of your life, the tenderest woman you have ever encountered, Mathematica.


#5 canhhoang30011999

canhhoang30011999

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 634 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A1K43 THPT chuyên Phan Bội Châu
  • Sở thích:toán

Đã gửi 13-08-2016 - 23:04

ta có $\frac{1}{a^{2013}}+\frac{1}{(p-a)^{2013}} =\frac{2013p.a^{2012}}{a^{2013}(p-a)^{2013}} (\bmod p)$

nếu $p/2013$ thì bài toán cm xong

nếu $(p,2013)=1$ thì ta đưa bài toán về cm

$\sum_{i=1}^{p-1}\frac{1}{i(p-i)^{2013}}\equiv 0 (\bmod p)$

hay $\sum_{i=1}^{p-1}\frac{1}{i^{2014}}\equiv 0 (\bmod p)$

do mỗi i bất kì luôn tồn tại j sao cho $ij \equiv 1 (\bmod p)$ 

nên ta có $\sum_{i=1}^{p-1} \frac{1}{i^{2014}} = \sum_{i=1}^{p-1} i^{2014}$

gọi $a_{1},a_{2},...a_{t}$ là các đồng dư phân biệt của $i^{2014}$

ta có mỗi $a_{i}$ được xuất hiện $\frac{p-1}{t}$ lần

từ đó xét đa thức $(x-a_{1})(x-a_{2})...(x-a_{t}) -x^{t}+1$

ta có $a_{1}.a_{2}...a_{t}=x^{2014}a_{1}.x^{2014}a_{2}...x^{2014}a_{t} (\bmod p)$

nên $x^{2014t} =1 (\bmod p) $

mà luôn tồn tại $x$ sao cho $a_{i} =x^{2014} (\bmod p)$ nên ta có đa thức trên có t nghiệm

Nếu t=1 thì ta có $p-1 /2014$ (vô lý do p khác 107)

nếu $t>1$ thì $ \sum_{i=1}^{t}  a_{i}=0 (\bmod p)$

mà $\sum_{i=1}^{p-1} i^{2014}=\frac{p-1}{t}( \sum_{j=1}^{t} a_{j}) =0$ (đpcm)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi canhhoang30011999: 13-08-2016 - 23:06


#6 ecchi123

ecchi123

    Trung sĩ

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 177 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hoàng Văn Thụ - Hòa bình
  • Sở thích:Hình , Dragonball

Đã gửi 27-08-2016 - 18:12

$\bigcap$


~O)  ~O)  ~O)





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh