Đến nội dung

Hình ảnh

$\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}< \frac{7}{10}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 9 trả lời

#1
hoalong14012002

hoalong14012002

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 8 Bài viết

với mọi $n\geq 1,n\epsilon N$.c/m:

a)$\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}< \frac{7}{10}$

b)$1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+...+\frac{1}{n^{2}}< \frac{79}{48}$

c)$\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{n+n}\geq \frac{2}{3}$ với $n\geq 3$

d)$1+\frac{1}{\gamma 2}+\frac{1}{\gamma 3}+...+\frac{1}{\gamma n}< 2\gamma n$ với $n\geq 1$

e)$1^{3}+3^{3}+5^{3}+...+(2n+1)^{3}> 2(n+1)^{3}(2n+1)$

g)$1^{4}+2^{4}+3^{4}+...+n^{4}> \frac{n^{2}(n+1)^{2}(2n+1)}{10}$

h)$\gamma 2+\gamma 3^{2}+\gamma 4^{3}+...+\gamma (n+1)^{n}< (n+1)$

k)$1+\frac{1}{2^{3}}+...+\frac{1}{n^{3}}< \frac{5}{4}$



#2
hanh7a2002123

hanh7a2002123

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 43 Bài viết

a/ Với n=1 ta có: $\frac{1}{2}<\frac{7}{10}$ ( đúng)
Giả sử mệnh đề đúng với n=k ( k thuộc N) tức $\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+2}+...+\frac{1}{2k}<\frac{7}{14}$
Ta chứng minh mệnh đề đúng với n=k+1.
<=> $\frac{1}{k+2}+\frac{1}{k+3}+...+\frac{1}{2(k+1)}<\frac{7}{14}$
Ta có: $\frac{1}{k+2}<\frac{1}{k+1}$
$\frac{1}{k+3}<\frac{1}{k+2}$
...
$\frac{1}{2k+1}<\frac{1}{2k}$ ( vì k thuộc N)
=> $\frac{1}{k+2}+\frac{1}{k+3}+...+\frac{1}{2(k+1)}< \frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+2}+...+\frac{1}{2k}<\frac{7}{14}$ ( đúng)
Vậy....


 


It is difficult to say what is impossible, for the dream of yesterday is the hope of today and the reality of tomorrow.


#3
thinhnarutop

thinhnarutop

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 248 Bài viết

c)$\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{n+n}\geq \frac{2}{3}$ với $n\geq 3$

Theo mình nghĩ câu này phải là dấu $\leq$ mới đúng


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thinhnarutop: 14-08-2016 - 09:30

    "Life would be tragic if it weren't funny"

                               

                                -Stephen Hawking-

 


#4
hanh7a2002123

hanh7a2002123

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 43 Bài viết

$b/ \frac{1}{1}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}$
Ta có: $\frac{1}{1}=\frac{1}{1}$
$\frac{1}{2^2}<\frac{1}{1.2}$
$\frac{1}{3^2}<\frac{1}{2.3}$
...
$\frac{1}{n^2}<\frac{1}{(n-1)n}$
=> $\frac{1}{1}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}< \frac{1}{1}+\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{(n-1)n}$
Tương tự phần a, chứng minh được $\frac{1}{1}+\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{(n-1)n} <\frac{79}{48}$


It is difficult to say what is impossible, for the dream of yesterday is the hope of today and the reality of tomorrow.


#5
Dark Repulsor

Dark Repulsor

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 302 Bài viết

$a)$ Với $n=1;2;3$, bđt đã cho đúng

Xét $n\geq4$: Ta c/m bđt mạnh hơn: $\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}<\frac{7}{10}-\frac{1}{4n}$ $(*)$

Với $n=4$, bđt $(*)$ đúng

Gsử bđt $(*)$ đúng với $n=k$. Ta c/m $(*)$ đúng với $n=k+1$:

Sử dụng gt quy nạp: $S_{k+1}=\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+2}+...+\frac{1}{2k+2}=S_{k}-\frac{1}{k+1}+\frac{1}{2k+1}+\frac{1}{2k+2}=S_{k}+\frac{1}{2(k+1)(2k+1)}<\frac{7}{10}-\frac{1}{4k}+\frac{1}{2(k+1)(2k+1)}$

Ta cần c/m: $-\frac{1}{4k}+\frac{1}{2(k+1)(2k+1)}<-\frac{1}{4(k+1)}$ (Chỗ này quy đồng là xg) 

Theo nguyên lý quy nạp $\Rightarrow$ đpcm


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dark Repulsor: 14-08-2016 - 10:34


#6
Dark Repulsor

Dark Repulsor

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 302 Bài viết

a/ Với n=1 ta có: $\frac{1}{2}<\frac{7}{10}$ ( đúng)
Giả sử mệnh đề đúng với n=k ( k thuộc N) tức $\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+2}+...+\frac{1}{2k}<\frac{7}{14}$
Ta chứng minh mệnh đề đúng với n=k+1.
<=> $\frac{1}{k+2}+\frac{1}{k+3}+...+\frac{1}{2(k+1)}<\frac{7}{14}$
Ta có: $\frac{1}{k+2}<\frac{1}{k+1}$
$\frac{1}{k+3}<\frac{1}{k+2}$
...
$\frac{1}{2k+1}<\frac{1}{2k}$ ( vì k thuộc N)
=> $\frac{1}{k+2}+\frac{1}{k+3}+...+\frac{1}{2(k+1)}< \frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+2}+...+\frac{1}{2k}<\frac{7}{14}$ ( đúng)
Vậy....


 

Dòng suy ra cuối cùng sai rồi bạn, số hạng $\frac{1}{2(k+1)}$ đâu có trog đánh giá ở trên



#7
Dark Repulsor

Dark Repulsor

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 302 Bài viết

Tương tự phần a, chứng minh được $\frac{1}{1}+\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{(n-1)n} <\frac{79}{48}$

Bđt này sai rồi, kiểm tra với $n=4$ là thấy



#8
Hai2003

Hai2003

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 225 Bài viết

k) Ta có $2^2>2^2-1=(2-1)(2+1)=1\times 3\implies \frac{1}{2^3}<\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}$

Như vậy $A<1+\frac{1}{1\cdot 2\cdot3}+\frac{1}{2\cdot 3\cdot4}+\cdots +\frac{1}{(n-1)n(n+1)}=1+\frac{1}{4}-\frac{1}{2n(n+1)}<\frac{1}{4}$

 

P/s



#9
Dark Repulsor

Dark Repulsor

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 302 Bài viết

$b)$ Với $n=1;2;3;4$, bđt đúng

Xét $n\geq 5$. Ta c/m bđt mạnh hơn: $1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}<\frac{79}{48}-\frac{2}{2n+1}$ 

Vói $n=5$, bđt đúng

Gsử bđt đúng với $n=k$. Ta c/m bđt đúng với $n=k+1$:

Sử dụng gt quy nạp: $1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{k^2}<\frac{79}{48}-\frac{2}{2k+1}+\frac{1}{(k+1)^2}$

Ta cần c/m: $-\frac{2}{2k+1}+\frac{1}{(k+1)^2}< -\frac{2}{2k+3}$ (đúng nếu quy đồng) $\Rightarrow$ đpcm



#10
giaminhha

giaminhha

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 1 Bài viết

$b)$ Với $n=1;2;3;4$, bđt đúng
Xét $n\geq 5$. Ta c/m bđt mạnh hơn: $1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}<\frac{79}{48}-\frac{2}{2n+1}$ 
Vói $n=5$, bđt đúng
Gsử bđt đúng với $n=k$. Ta c/m bđt đúng với $n=k+1$:
Sử dụng gt quy nạp: $1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{k^2}<\frac{79}{48}-\frac{2}{2k+1}+\frac{1}{(k+1)^2}$
Ta cần c/m: $-\frac{2}{2k+1}+\frac{1}{(k+1)^2}< -\frac{2}{2k+3}$ (đúng nếu quy đồng) $\Rightarrow$ đpcm

cho mình hỏi sao chọn được 2/2n+1 vậy ạ?






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh