Đề thi tuyển sinh lớp 10 trường PTNK ĐHQG TP.HCM
Năm học 2006-2007
Môn: Toán Năng khiếu (dành cho các lớp chuyên Toán, Tin)
Thời gian làm bài: 150 phút
Bài 1: 1) Giải hệ phương trình $ 2x^2 +xy =1, 2y^2+xy = 1$
2) Giải bất trình $\sqrt{3x-5x^2}\le 5x-2$ .
3) Cho x, y là các số thực thỏa mãn điều kiện x + y = 2. Chứng minh rằng
$xy(x^2+y^2) \le 2$.
Bài 2. Cho phương trình
$(m+3)x^2 - 2(m^2+3m)x + m^3 + 12 = 0 $(1)
trong đó m là tham số.
1) Tìm số nguyên m nhỏ nhất sao cho phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.
2) Ký hiệu $x_1, x_2$ là hai nghiệm của (1). Tìm số nguyên m lớn nhất sao cho $x_1^2 + x_2^2$ là một số nguyên.
Bài 3. Cho tam giác đều ABC. P là một điểm nằm trong tam giác. Gọi x, y, z lần lượt là khỏang cách từ P đến các cạnh BC, CA, AB tương ứng.
1) Biết rằng x = 1, y = 2, z = 3. Hãy tính diện tích tam giác ABC.
2) Tìm quỹ tích những điểm P trong tam giác sao cho x + y = z. Từ đó suy ra tập hợp những điểm P trong tam giác sao cho x, y, z lập thành 3 cạnh của một tam giác.
Bài 4. Cho đường tròn © tâm O, AB là một dây cung của © không đi qua O và I là trung điểm của AB. Một đường thẳng thay đổi qua A cắt đường tròn (C1) tâm O bán kính OI tại P và Q. Chứng minh rằng tích AP.AQ không đổi và đường tròn ngọai tiếp tam giác BPQ đi qua một điểm cố định khác B.
Bài 5. 1) Trong một giải bóng đá, có 4 đội thi đấu vòng tròn 1 lượt (trong một trận, đội thắng được 3 điểm, đội thua được 0 điểm và đội hòa được 1 điểm). Khi kết thúc giải, người ta thấy có 3 đội đạt được tổng số điểm lần lượt là 6 điểm, 5 điểm và 1 điểm. Hãy cho biết đội còn lại của giải có tổng số điểm là bao nhiêu và giải thích tại sao?
2) Cho 13 số thực thỏa mãn điều kiện: tổng của 6 số bất kỳ trong chúng nhỏ hơn tổng của 7 số còn lại. Chứng minh rằng tất cả các số đã cho đều dương.
-----------------------------
Ngày thi thứ nhất : http://diendantoanho...st=0#entry84389
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 12-05-2009 - 23:37