Chủ đề này có 1 trả lời

[Nguyen Huy Hoang]

$\left\{\begin{matrix} x\sqrt{8y-5}+y\sqrt{8x-5}=\sqrt[4]{24(x^2+y^2+4)} & \\ 11x^2-6xy+3y^2=12x-4y \end{matrix}\right.$

[Baoriven]

Đặt $x^2+y^2=2t^2,t> 0$.

Từ phương trình đầu ta có: 

$\sqrt{48(t^2+2)}=\sqrt{24(x^2+y^2+4)}=\left(x\sqrt{8y-5}+y\sqrt{8x-5}\right)^2\leq(x^2+y^2)(8(x+y)-10)$

$\leq(x^2+y^2)\left(8\sqrt{2(x^2+y^2)}-10\right)=4t^2(8t-5)$

Ta có: $t=\sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}}\geq\frac{5}{8}$

Nên: $t^4(8t-5)^2\geq3(t^2+2)$ hay $(t-1)(64t^5-16t^4+9t^3+9t^2+6t+6)\geq0$ suy ra : $t\geq 1$.

Vì: $x^2+y^2\geq 2$ và: $0=11x^2+3y^2-6xy-12x+4y=2(x^2+y^2)+9x^2+y^2-6xy-12x+4y\geq$$\geq4+9x^2+y^2-6xy-12x+4y=(3x-y-2)^2$

Suy ra: $\left\{\begin{matrix}y=3x-2 \\ x^2+y^2=2 \\ x=y \end{matrix}\right.$

Vậy ta được nghiệm: $x=y=1$.