Đến nội dung


Hình ảnh

$\fbox{Đề thi học sinh giỏi toán 10 Trường PTTH chuyên Khoa học Tự nhiên "Chuyên Toán"}$

đề thi hsg

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 8 trả lời

#1 HoaiBao

HoaiBao

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 171 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Combinatorics, Number theory, Geometry, Cartoon

Đã gửi 18-08-2016 - 18:57

TRƯỜNG PTTH CHUYÊN KHTN                      ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 10

    BỘ MÔN CHUYÊN TOÁN                                                NĂM HỌC 2016 - 2017

Thời gian làm bài: 180 phút

(Lần 1, ngày 19/08/2016)

Bài 1: Tìm tất cả các số tự nhiên $n$ sao cho $504(2017^n+1)$ là tích của hai số nguyên liên tiếp.

Bài 2: Tìm tất cả các cặp số nguyên dương phân biệt $(a,b)$ sao cho $a^2+b\vdots b^2-a$ và$b^2+a\vdots a^2-b$ 

Bài 3: Cho $x,y,z >0, x+y+z=xyz$. Chứng minh rằng

$\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{y^2+z^2}+\sqrt{z^2+x^2}+3\sqrt{6}\leq \sqrt{8}xyz$

$\fbox{Bài 4}$: Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp trong đường tròn $(O)$. $M,N$ là hai điểm di chuyển trên cung nhỏ $BC$ của $(O)$ sao cho $MN\parallel BC$ đồng thời có các điểm $E,F$ lần lượt thuộc các đoạn $CA,AB$ để $EN, FM$ cùng vuông góc với $MN$.

      a) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$ luôn đi qua một điểm $P$ cố định khác $A$ khi $MN$ thay đổi.

      b) Gọi $Q$ đối xứng với $P$ qua $EF$. Chứng minh rằng $Q$ luôn nằm trên một đường thẳng cố định khi $M, N$ thay đổi.

Bài 5: Cho $ABC$ là một tam giác tùy ý. Chứng minh rằng nếu mỗi điểm nằm trong một mặt phẳng được tô bởi đúng một trong hai màu xanh hoặc đỏ thì có tồn tại hai điểm màu đỏ có khoảng cách là 1 hoặc tồn tại ba điểm màu xanh mà chúng tạo thành một tam giác đồng dạng với tam giác $ABC$.

------- HẾT -------

----------------------------------------------------------------------------------------------

$\fbox{Nguồn: Bùi Duy Hiếu}$

----------------------------------------------------------------------------------------------

Thế là còn lại bài hình (4) 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HoaiBao: 19-08-2016 - 07:31


#2 HoaiBao

HoaiBao

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 171 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Combinatorics, Number theory, Geometry, Cartoon

Đã gửi 18-08-2016 - 19:36

Bài 1: Tìm tất cả các số tự nhiên $n$ sao cho $504(2017^n+1)$ là tích của hai số nguyên liên tiếp.

Chém bài dễ nhất:

 Ta có: $a(a+1)=504(2017^n+1)$

$a^2+a-504(2017^n+1)=0$

$\Delta=1+4.504(2017^n+1)=2017(2017^n-2017^{n-1}+1)$ phải là số chính phương

và do 2017 là số nguyên tố nên $(2017^n-2017^{n-1}+1)\vdots 2017$

Xét $n>1$ dễ thấy mâu thuẫn.

Với $n=0$ (loại)

Do đó $n$ cần tìm là 1 (thõa mãn bài toán)



#3 royal1534

royal1534

    Trung úy

  • Điều hành viên THCS
  • 773 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng
  • Sở thích:VMF!

Đã gửi 19-08-2016 - 00:09

 

Bài 3: Cho $x,y,z >0, x+y+z=xyz$. Chứng minh rằng

$\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{y^2+z^2}+\sqrt{z^2+x^2}+3\sqrt{6}\leq \sqrt{8}xyz$

 

Nhắm làm được mỗi bài này :D.

----------------

Lời giải:

Giả thiết đã cho $\Leftrightarrow \frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx} \leq 1 $

Đổi biến $(\frac{1}{x},\frac{1}{y},\frac{1}{z})=(a,b,c) $

$\Rightarrow ab+bc+ca=1$

BĐT cần chứng minh được viết lại thành:

$c\sqrt{a^2+b^2}+b\sqrt{c^2+a^2}+a\sqrt{b^2+c^2}+3\sqrt{6}abc \leq \sqrt{8}$

Từ giả thiết ta có

$1 \geq 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}$

$\Leftrightarrow abc \leq \frac{1}{3\sqrt{3}}$

Sử dụng bđt trên ta có: $(c\sqrt{2ab}+b\sqrt{2ac}+a\sqrt{2bc}) \geq 3\sqrt[3]{2\sqrt{2}a^2b^2c^2} \geq 3\sqrt{6}abc$

Suy ra $VT \leq c(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{2ab})+b(\sqrt{c^2+a^2}+\sqrt{2ca})+a(\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{2bc}) \leq \sum c\sqrt{2(a^2+b^2+2ab)}=\sum \sqrt{2} c(a+b)=2\sqrt{2}$

Ta có điều phải chứng minh. Dấu '=' xảy ra khi $x=y=z=\sqrt{3}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi royal1534: 19-08-2016 - 00:13


#4 redfox

redfox

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 100 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Sở thích:furry

Đã gửi 19-08-2016 - 05:25

Bài 5
TH 1: Tất cả điểm được tô màu xanh. Khi đó tam giác $ABC$ có 3 đỉnh màu xanh là tam giác thỏa mãn.
TH 2: Có ít nhất một điểm màu đỏ là $O$. Giả sử trái lại, không tồn tại các điểm màu đỏ hay màu xanh như đề bài. Vẽ đường tròn $(O;1)$. Vì không có hai điểm màu đỏ có khoảng cách bằng $1$ nên tất cả nhưng điểm trên đường tròn đều được tô màu xanh. Nhưng trên $(O;1)$ ta luôn chọn được tam giác đòng dạng với $ABC$ (vô lý).

#5 bolobala123456

bolobala123456

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 50 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Bất đẳng thức và pt, hpt

Đã gửi 19-08-2016 - 12:20

 

TRƯỜNG PTTH CHUYÊN KHTN                      ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 10

    BỘ MÔN CHUYÊN TOÁN                                                NĂM HỌC 2016 - 2017

Thời gian làm bài: 180 phút

(Lần 1, ngày 19/08/2016)

Bài 1: Tìm tất cả các số tự nhiên $n$ sao cho $504(2017^n+1)$ là tích của hai số nguyên liên tiếp.

Bài 2: Tìm tất cả các cặp số nguyên dương phân biệt $(a,b)$ sao cho $a^2+b\vdots b^2-a$ và$b^2+a\vdots a^2-b$ 

Bài 3: Cho $x,y,z >0, x+y+z=xyz$. Chứng minh rằng

$\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{y^2+z^2}+\sqrt{z^2+x^2}+3\sqrt{6}\leq \sqrt{8}xyz$

$\fbox{Bài 4}$: Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp trong đường tròn $(O)$. $M,N$ là hai điểm di chuyển trên cung nhỏ $BC$ của $(O)$ sao cho $MN\parallel BC$ đồng thời có các điểm $E,F$ lần lượt thuộc các đoạn $CA,AB$ để $EN, FM$ cùng vuông góc với $MN$.

      a) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$ luôn đi qua một điểm $P$ cố định khác $A$ khi $MN$ thay đổi.

      b) Gọi $Q$ đối xứng với $P$ qua $EF$. Chứng minh rằng $Q$ luôn nằm trên một đường thẳng cố định khi $M, N$ thay đổi.

Bài 5: Cho $ABC$ là một tam giác tùy ý. Chứng minh rằng nếu mỗi điểm nằm trong một mặt phẳng được tô bởi đúng một trong hai màu xanh hoặc đỏ thì có tồn tại hai điểm màu đỏ có khoảng cách là 1 hoặc tồn tại ba điểm màu xanh mà chúng tạo thành một tam giác đồng dạng với tam giác $ABC$.

------- HẾT -------

----------------------------------------------------------------------------------------------

$\fbox{Nguồn: Bùi Duy Hiếu}$

----------------------------------------------------------------------------------------------

Thế là còn lại bài hình (4) 

 

Anh làm đc bài 2 ko



#6 The flower

The flower

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 51 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 20-08-2016 - 23:46

Bài 4: a)Vẽ đường cao AH của tam giác ABC , (AEF)$\bigcap$(O) ở điểm thứ 2 là P

$\Delta$FPB$\sim$$\Delta$EPC(g.g)(vì $\widehat{FPE}=\widehat{BPC}=\widehat{BAC}$)

=>$\frac{PB}{PC}=\frac{FB}{EC}=\frac{FB}{AB}.\frac{AB}{AC}.\frac{AC}{EC}=\frac{BK}{BH}.\frac{AB}{AC}.\frac{HC}{CL}=$hằng số vì BK=CL=>P cố định 

:lol:  :lol:  :lol:

Bài 2: http://diendantoanho...469&qpid=650280


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi The flower: 20-08-2016 - 23:56

     (~~)  (~~)  (~~) Mỗi người luôn đúng theo cách của riêng mình  >:)  >:)  >:) 


#7 VOHUNGTUAN

VOHUNGTUAN

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 82 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:a1k45 THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU- NGHỆ AN
  • Sở thích:don't like any thing

Đã gửi 20-09-2016 - 21:47

Anh làm đc bài 2 ko

mình thử chém coi nhá:

do a2 +b $> 0$ nên từ a2 +b $\vdots b^{2}-a$ ta có a-b $\geq -1$

tương tự vs cái bên dưới của gt ta có a-b$\leq 1$

vậy có 2 trường hợp là a-b=1 và a=b ( vai trò a, b như nhau mà)

đến đây tự xét :D  :like


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi VOHUNGTUAN: 20-09-2016 - 21:49

TOÁN HỌC LÀ LINH HỒN CỦA CUỘC SỐNG

 

VIỆC HỌC TOÁN SONG SONG VỚI CUỘC ĐỜI

!

 

(~~)  :ukliam2:  >:)  :ukliam2:  (~~)

:ukliam2:  :icon13:  :icon13:  :ukliam2:  :lol:  :mellow:  :D :mellow:   :lol:  :ukliam2:  :icon13:  :icon13:  :ukliam2: 

~O)  ~O)  ~O)
 

 


#8 Zeref

Zeref

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 458 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đồng Nai
  • Sở thích:...

Đã gửi 20-09-2016 - 22:16

Chém bài dễ nhất:

 Ta có: $a(a+1)=504(2017^n+1)$

$a^2+a-504(2017^n+1)=0$

$\Delta=1+4.504(2017^n+1)=2017(2017^n-2017^{n-1}+1)$ phải là số chính phương

và do 2017 là số nguyên tố nên $(2017^n-2017^{n-1}+1)\vdots 2017$

Xét $n>1$ dễ thấy mâu thuẫn.

Với $n=0$ (loại)

Do đó $n$ cần tìm là 1 (thõa mãn bài toán)

Cho mình hỏi tại sao lại mâu thuẫn vậy ? :)



#9 minh1437

minh1437

    Lính mới

  • Thành viên
  • 4 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đồng Nai

Đã gửi 21-09-2016 - 10:41

do n>1 thì 2017n chia hết  2017 và 2017n-1 chia hết2017 => vô lí







0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh