Đến nội dung

Hình ảnh

CMR:$\sum \frac{a^{2}}{b^{2}+c^{2}}\geq \sum \frac{a}{b+c}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1
le truong son

le truong son

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 225 Bài viết

Cho a,b,c >0 CMR:$\sum \frac{a^{2}}{b^{2}+c^{2}}\geq \sum \frac{a}{b+c}$



#2
rfiyms

rfiyms

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 20 Bài viết

Cho a,b,c >0 CMR:$\sum \frac{a^{2}}{b^{2}+c^{2}}\geq \sum \frac{a}{b+c}$

Ta có:
\begin{align*} \text{VT}-\frac{3}{2} &=\frac{1}{2}\sum \left ( \frac{a^{2}}{b^{2}+c^{2}}-1 \right ) \\ &=\frac{1}{2}\sum \frac{\left ( a-b \right )\left ( a+b \right )+\left ( a-c \right )\left ( a+c \right )}{b^{2}+c^{2}} \\ &=\frac{1}{2}\sum \left [ \frac{\left ( a-b \right )\left ( a+b \right )}{b^{2}+c^{2}}-\frac{\left ( a-b \right )\left ( a+b \right )}{a^{2}+c^{2}} \right ] \\ &=\frac{1}{2}\left ( a-b \right )\left ( a+b \right )\frac{\left ( a-b \right )\left ( a+b \right )}{\left ( b^{2}+c^{2} \right )\left ( a^{2}+c^{2} \right )} \\ &=\frac{1}{2}\sum \frac{\left ( a-b \right )^{2}\left ( a+b \right )^{2}}{\left ( b^{2}+c^{2} \right )\left ( a^{2}+c^{2} \right )} \end{align*}
Tương tự:
\begin{align*} \text{VP}-\frac{3}{2} &=\frac{1}{2}\sum \frac{a-b+a-c}{b+c} \\ &=\frac{1}{2}\sum \left ( \frac{a-b}{b+c}-\frac{a-b}{a+c} \right ) \\ &=\frac{1}{2}\sum \frac{\left ( a-b \right )^{2}}{\left ( b+c \right )\left ( a+c \right )} \\ \end{align*}
Trừ vế theo vế hai bất đẳng thức trên ta được:
$$\text{VT}-\text{VP}=\frac{1}{2}\sum \left ( a-b \right )^{2}\left [ \frac{\left ( a+b \right )^{2}}{\left ( b^{2}+c^{2} \right )\left ( a^{2}+c^{2} \right )}-\frac{1}{\left ( b+c \right )\left ( a+c \right )} \right ]$$
Theo tiêu chuẩn $2$ của phương pháp $\text{S.O.S}$ bất đẳng thức cuối đúng do đó ta thu được bất đẳng thức cần chứng minh.

Как дай вам бог любимой быть другим.

#3
rfiyms

rfiyms

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 20 Bài viết

Cho a,b,c >0 CMR:$\sum \frac{a^{2}}{b^{2}+c^{2}}\geq \sum \frac{a}{b+c}$

Cách khác không sử dụng $\text{S.O.S}$:
$$\sum \frac{a^{2}}{b^{2}+c^{2}}\geq \sum \frac{a}{b+c}$$
$$\Leftrightarrow \sum \left ( a^{2}+\sum ab \right )\left [ \sum \frac{ab\left ( b-c \right )^{2}}{\left ( b+c \right )\left ( c+a \right )\left ( b^{2}+c^{2} \right )\left ( c^{2}+a^{2} \right )} \right ]\geq 0$$
Bài toán tổng quát có trong Sáng tạo bất đẳng thức của tác giả Phạm Kim Hùng.

Как дай вам бог любимой быть другим.

#4
superpower

superpower

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 492 Bài viết

Cho a,b,c >0 CMR:$\sum \frac{a^{2}}{b^{2}+c^{2}}\geq \sum \frac{a}{b+c}$

Ta có thể chứng minh hàm số

$f(x) = \sum \frac{a^x}{b^x+c^x} $ đồng biến trên $R$



#5
Kurt Carstair

Kurt Carstair

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 4 Bài viết
$\sum_{cyc}\frac{a^2}{b^2+c^2}-\sum_{cyc}\frac{a}{b+c}=\sum_{cyc}\frac{ab(a-b)+ac(a-c)}{(b+c)(b^2+c^2)}=\sum_{cyc}[\frac{ab(a-b)}{(b+c)^2(b^2+c^2)}-\frac{ab(a-b)}{(a+c)(a^2+c^2)}]$
$=(a^2+b^2+c^2+ab+ac+bc)\sum\frac{ab(a-b)^2}{(b+c)(a+c)(b^2+c^2)(a^2+c^2)}$


#6
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Đây là bài toán tổng quát: Cho $a,b,c>0$ và $r,s$ là các số thực dương sao cho $r\geqslant s$. Chứng minh: $\frac{a^r}{b^r+c^r}+\frac{b^r}{c^r+a^r}+\frac{c^r}{a^r+b^r}\geqslant \frac{a^s}{b^s+c^s}+\frac{b^s}{c^s+a^s}+\frac{c^s}{a^s+b^s}$


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh