Lần I
Đề chọn đội tuyển chuyên Nguyễn DU- Đăklak 2016-2017
#1
Đã gửi 23-08-2016 - 16:15
#2
Đã gửi 23-08-2016 - 17:16
đề có mỗi câu 5 mang tính chất phân loại ak
#3
Đã gửi 23-08-2016 - 21:18
Bài 4:
a/ Câu bđt Cho $a,b,c >0 $ thỏa $abc=1 $
Chứng minh $\sum \frac{1}{a+2} \leq 1 $
Quy đồng hết lên, ta được
$\sum (2+a)(2+b) \leq (2+a)(2+b)(2+c) $
$<=> 12+ 4\sum a+ \sum ab \leq 8+4\sum a + 2\sum ab + abc $
$<=> \sum ab + abc \geq 4 $
Ta có $ab+bc+ca \geq 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2} =1 $
Do đó ta có đpcm
b/ Câu hàm $f(5x+y) = f(x)+f(2y) + 4x-y $
Thay $x=y=0 => f(0)=0 $
Thay $x=0 => f(y) = f(2y)-y <=> f(y)-y = f(2y) -2y $
Đặt $g(x)= f(x) -x $
Do đó $g(x)= g(2x) $
Do $f(x)$ liên tục nên $g(x)$ liên tục
Do đó $g(x) = g(\frac{x}{2}) =...= g(\frac{x}{2^n} )$
Với mỗi $x$ cố định cho $n -> +\infty=> g(x) = g(0) =0$
Khi đó $f(x) = x $
Thử lại thỏa
#4
Đã gửi 23-08-2016 - 21:38
Câu 4.
1/ Đặt $a=\frac{x}{y},b=\frac{y}{z};c=\frac{z}{x}$ đưa bài toán về chứng minh
$\sum \frac{y}{2y+x}\leq 1\Leftrightarrow \frac{1}{2}\left ( 3-\sum \frac{x}{2y+x} \right )\leq 1$
Ta có $\sum \frac{x}{2y+x}=\sum \frac{x^{2}}{2xy+x^{2}}\geq \frac{(x+y+z)^{2}}{(x+y+z)^{2}}=1$
Do đó $\frac{1}{2}\left ( 3-\sum \frac{x}{2y+x} \right )\leq \frac{2}{2}=1$
Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$
2/ thay $x=y=0$ ta được $f(0)=0$
Đặt $g(x)=f(x)-x$ ($g(0)=0$) khi đó ta được $g(5x+y)=g(x)+g(2y)$
cho $y=0$ ta được $g(5x)=g(x)$$\Rightarrow g(x)=g(\frac{1}{5}x)=g(\left ( \frac{1}{5} \right )^{2}x)=...=g(\left ( \frac{1}{5} \right )^{n}x)$
Do $f$ liên tục nên $g$ liên tục. Khi đó
$\lim g(x)=\lim g\left ( \left ( \frac{1}{5} \right )^{n}x \right )\Leftrightarrow g(x)=g\left ( \lim \left ( \frac{1}{5} \right )^{n} x\right )=g(0)=0\Rightarrow g(x)=0$
Do đó $f(x)=x,\forall x\in \mathbb{R}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lenhatsinh3: 23-08-2016 - 21:52
#5
Đã gửi 23-08-2016 - 22:00
Ai giải câu phương trình đi
#6
Đã gửi 23-08-2016 - 22:14
Lời giải câu phương trình:
Biến đổi chút xíu, ta được:
$(x^5+10x^3+22x-4)^3+2(x^5+10x^3+22x-4)=(\sqrt[3]{-x^5-2x^3-20x+4})^3+2\sqrt[3]{-x^5-2x^3-20x+4}$.
Xét hàm số $f(t)=t^3+3t$, ta có: $f'(t)>0$ nên $f(t)$ đồng biến.
Vậy ta giải phương trình: $x^5+10x^3+22x-4=\sqrt[3]{-x^5-2x^3-20x+4}$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Baoriven: 29-08-2016 - 19:14
$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$
#7
Đã gửi 23-08-2016 - 23:26
Câu 4.
1/ Đặt $a=\frac{x}{y},b=\frac{y}{z};c=\frac{z}{x}$ đưa bài toán về chứng minh
$\sum \frac{y}{2y+x}\leq 1\Leftrightarrow \frac{1}{2}\left ( 3-\sum \frac{x}{2y+x} \right )\leq 1$
Ta có $\sum \frac{x}{2y+x}=\sum \frac{x^{2}}{2xy+x^{2}}\geq \frac{(x+y+z)^{2}}{(x+y+z)^{2}}=1$
Do đó $\frac{1}{2}\left ( 3-\sum \frac{x}{2y+x} \right )\leq \frac{2}{2}=1$
Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$
2/ thay $x=y=0$ ta được $f(0)=0$
Đặt $g(x)=f(x)-x$ ($g(0)=0$) khi đó ta được $g(5x+y)=g(x)+g(2y)$
cho $y=0$ ta được $g(5x)=g(x)$$\Rightarrow g(x)=g(\frac{1}{5}x)=g(\left ( \frac{1}{5} \right )^{2}x)=...=g(\left ( \frac{1}{5} \right )^{n}x)$
Do $f$ liên tục nên $g$ liên tục. Khi đó
$\lim g(x)=\lim g\left ( \left ( \frac{1}{5} \right )^{n}x \right )\Leftrightarrow g(x)=g\left ( \lim \left ( \frac{1}{5} \right )^{n} x\right )=g(0)=0\Rightarrow g(x)=0$
Do đó $f(x)=x,\forall x\in \mathbb{R}$
Ở bước 2 bạn nên ghi rõ là đã sd bđt hoán vị thì ms có kết quả như thế kia chứ ko tự nhiên mà x, y nó lại thế chỗ nhau như vậy đâu bạn
#9
Đã gửi 25-08-2016 - 18:52
Đáp án câu phương trình các em nhé!
Xin lỗi vì bất tiện này do diễn đàn không cho tải trực tiếp lời giải chụp bằng ảnh lên!
http://vted.vn/de-th...t364069456.html
Giáo viên môn Toán tại website : http://vted.vn
#10
Đã gửi 25-08-2016 - 19:23
có ai giải đc câu cuối ko ạ
#11
Đã gửi 29-08-2016 - 19:09
Bài 4 : Ta có bất đẳng thức tương đương :
$\sum \frac{a}{2+a}\geq 1$
theo schwarz ta có :
$\sum \frac{a}{2+a}\geq \frac{(a+b+c)^2}{\sum a^2+2(\sum a)}$
cần CM:
$\frac{(a+b+c)^2}{\sum a^2+2(\sum a)} \geq 1$
hay $\sum ab\geq \sum a$
Biến đổi : $(a,b,c)\rightarrow (\frac{x}{y},\frac{y}{z},\frac{z}{x})$
Ta có : $\frac{x}{z}+\frac{y}{x}+\frac{z}{y}\geq \frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\Leftrightarrow z(y-z)(\frac{y-x}{xyz})\geq 0$
Không mất tính tổng quát giả sử $y\geq x\geq z$
suy ra bđt trên đúng .
Dấu bằng tại a=b=c=1
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh