TUYỂN TẬP MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN TRONG KÌ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH, THÀNH PHỐ
(Phần I)
Đây là topic tổng hợp một số bài hình học không gian trong các kì thi học sinh giỏi tỉnh, thành phố vòng 1. Mong các bạn tham gia giải bài để xây dựng topic.
Bài 1: Cho hình tứ diện ABCD có ba mặt (ABC),(ACD),(ADB) vuông tại A. M là một điểm trong tam giác BCD. Gọi $\alpha,\beta,\gamma$ lần lượt là góc giữa AM và các mặt phẳng (ABC),(ACD),(ADB). Chứng minh rằng: $sin^{2}\alpha+sin^{2}\beta+sin^{2}\gamma =1$
Bài 2: Cho tứ diện ABC$ có AB,AC,AD vuông góc với nhau đôi một. Chứng minh rằng: Nếu mặt phẳng (BCD) hợp với các mặt phẳng (ABC,(ABD),(ACD) các góc lần lượt là $\alpha,\beta,\gamma$ thì ta có $cos^{2}\alpha+cos^{2}\beta+cos^{2}\gamma =1$
Bài 3: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có ABCD là hình vuông cạnh $a$. $AA'=2a$. E,F lần lượt là trung điểm B'C',C'D'. Tình diện tích thiết diện tạo thành do mặt (AEF) cắt hộp đã cho.
Bài 4: Cho hình bình hành ABCD có khoảng cách từ A dến BD là $h$. Trên tia $Ax,Cy$ cùng vuông góc với ABCD và cùng chiều, ta lần lượt lấy hai điểm $M,N$. Đặt $x=AM,y=CN$. Chứng minh rằng: Điều kiện Cần và Đủ để hai mặt (BDM),(BDN) vuông góc là $xy=h^{2}$.
Bài 5:Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' đáy là tam giác cân tại A. Góc giữa hai đường AA',BC' là $30$ và khoảng cách giữa chúng là $a$. Góc giữa hai mặt chứa hai mặt bên AA' là $60$. Tính thể tích khối $ABC.A'B'C'$.
Bài 6: Cho lăng trụ đều ABC.A'B'C'. Tam giác ABC' có diện tích là $Q\sqrt{3}$ và hợp với mặt đáy một góc $\alpha \in \left ( 0,\frac{\prod }{2} \right)$.
a, Tính $V_{ABC.A'B'C'}$ theo $Q,\alpha$.
b, Cho $Q=const$, $\alpha$ thay đổi. Tính $\alpha$ để V max.
Bài 7: Cho lăng trụ đều ABC.A'B'C'. Mặt (A'BC) cách A một khoảng bằng $\frac{a\sqrt{3}}{4}$ và hợp BC' một góc $\alpha$ biết $sin\alpha=\frac{\sqrt15}{10}$. Tính thể tích lăng trụ trên.
Bài 8: Cho tứ diện ABCD và IJ là đoạn vuông góc chung của AB,CD (I trên AB, J trên CD. $\alpha$ là góc của AB,CD. Chứng minh: thể tích tứ diện ABCD là $\frac{1}{6}AB.CD.IJ.sin\alpha$.
Bài 9: Cho tứ diện ABCD. Tìm M trong không gian để $MA^{2}+MB^{2}+MC^{2}+MD^{2}$ đạt min.
Bài 10. Trên đáy ABC của tứ diện OABC lấy điểm M. Các đường song song với các cạnh OA,OB,OC đi qua M, cắt mặt (OBC),(OCA),(OAB) lần lượt tại A',B',C'. Chứng minh rằng: $$\frac{MA'}{OA}+\frac{MB'}{OB}+\frac{MC'}{OC}=1$$
Bài 11: Cho M là một điểm nằm trong tứ diện ABCD. Các đường MA,MB,MC,MD cắt các mặt đối diện tại A',B',C',D'. Chứng minh rằng: $$\frac{MA'}{AA'}+\frac{MB'}{BB'}+\frac{MC'}{CC'}=1$$
Bài 12: Cho tứ diện ABCD đáy là tam giác BCD cân ở D, $BC=a$ và góc $BDC=2\alpha$. Biết các cạnh bên nghiêng đều với đáy một góc $\beta$. Chân đường cao H vẽ từ đỉnh A xuống (BCD) thuộc miền trong tam giác BCD. Tính thể tích của tứ diện theo $a,\alpha,\beta$.
Bài 13: Cho góc tam diện Oxyz và điểm M cố định trong góc đó. Mặt (P) lưu động qua M cắt Ox tại A, Oy tại B, Oz tại C. Tìm vị trí của (P) để diện tích tứ diện OABC nhỏ nhất.
Bài 14: Cho chóp S.ABC có $SA=x,BC=y$, các cạnh còn lại bằng 1. Tính thể tích chóp theo $x,y$.
Bài 15: Cho tứ diện ABCD có $AD=BC=a$, $AC=BD=b$, $AB=CD=c$. Tính thể tích tứ diện theo $x,y$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamngochung9a: 30-08-2016 - 17:55