Chủ đề này có 7 trả lời

[nguyenquangtruonghktcute]

Với a,b,c>0. Cm

M

$\sqrt{\frac{ab+bc+ca}{3}}\leq \sqrt[3]{\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{8}}$

[hoaichung01]

chuẩn hóa bất đẳng thức  ta có ab+bc+ca =3 

$a+b+c\geq 3 và abc\leq 1

mà (a+b)(b+c)(c+a)=(ab+bc+ca)(a+c+b)-abc=3(a+b+c)-abc\geq 8$ => đpcm

[nguyenquangtruonghktcute]

chuẩn hóa bất đẳng thức  ta có ab+bc+ca =3 

$a+b+c\geq 3 và abc\leq 1

mà (a+b)(b+c)(c+a)=(ab+bc+ca)(a+c+b)-abc=3(a+b+c)-abc\geq 8$ => đpcm

còn cách khác ngoài chuẩn hóa k

[TNTFlashNo1]

còn cách khác ngoài chuẩn hóa k

BĐT trên tương đương vs:

$(\frac{ab+bc+ca}{3})^{3}\leq (\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{8})^{2}$

Áp dụng BĐT:$(a+b)(b+c)(c+a)\geq \frac{8}{9}(a+b+c)(ab+bc+ca)$

$\Rightarrow (a+b+c)^{2}\geq 3(ab+bc+ca)$  (biến đổi 1 tí là ra cái này mà)

[nguyenquangtruonghktcute]

BĐT trên tương đương vs:

$(\frac{ab+bc+ca}{3})^{3}\leq (\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{8})^{2}$

Áp dụng BĐT:$(a+b)(b+c)(c+a)\geq \frac{8}{9}(a+b+c)(ab+bc+ca)$

$\Rightarrow (a+b+c)^{2}\geq 3(ab+bc+ca)$  (biến đổi 1 tí là ra cái này mà)

hình như ngược dấu mà bn

[Cuongpa]

hình như ngược dấu mà bn

Ngược đâu bạn:

•  $(a+b)(b+c)(c+a)\geq \frac{8}{9}(a+b+c)(ab+bc+ca)\Leftrightarrow a^{2}b+ab^{2}+b^{2}c+bc^{2}+a^{2}c+ac^{2}\geq 6abc$ 

(bđt $AM-GM$)

• $\frac{(ab+bc+ca)^{3}}{27}= \frac{(ab+bc+ca)^{2}}{81}.3(ab+bc+ca)\leq \frac{\left [(a+b+c)(ab+bc+ca) \right ]^{2}}{81}\leq \left [\frac{\prod (a+b)}{8} \right ]^{2}$

[TNTFlashNo1]

chuẩn cơm mẹ nấu rùi

 

 

Ngược đâu bạn:

•  $(a+b)(b+c)(c+a)\geq \frac{8}{9}(a+b+c)(ab+bc+ca)\Leftrightarrow a^{2}b+ab^{2}+b^{2}c+bc^{2}+a^{2}c+ac^{2}\geq 6abc$ 

(bđt $AM-GM$)

• $\frac{(ab+bc+ca)^{3}}{27}= \frac{(ab+bc+ca)^{2}}{81}.3(ab+bc+ca)\leq \frac{\left [(a+b+c)(ab+bc+ca) \right ]^{2}}{81}\leq \left [\frac{\prod (a+b)}{8} \right ]^{2}$

 

[KietLW9]

Bài này được giới thiệu trong bài chuẩn hóa bất đẳng thức trong sách SangTaoBĐT của Phạm Kim Hùng