Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm min $P=\frac{1}{2}-\frac{1}{x}-\frac{1}{x+y}-\frac{1}{x+y+z}$

bất đẳng thức và cực trị

  • Chủ đề bị khóa Chủ đề bị khóa
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
Hagoromo

Hagoromo

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 97 Bài viết

cho P=$\frac{1}{2}-\frac{1}{x}-\frac{1}{x+y}-\frac{1}{x+y+z}$12−1x−1x+y−1x+y+z . Tìm x,y,z ϵZ+ϵZ+ để P dương nhỏ nhất



#2
Hagoromo

Hagoromo

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 97 Bài viết

cho P=$\frac{1}{2}-\frac{1}{x}-\frac{1}{x+y}-\frac{1}{x+y+z}$12−1x−1x+y−1x+y+z . Tìm x,y,z ϵZ+ϵZ+ để P dương nhỏ nhất



#3
Korosensei

Korosensei

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 97 Bài viết

cho P=$\frac{1}{2}-\frac{1}{x}-\frac{1}{x+y}-\frac{1}{x+y+z}$ Tìm x,y,z ϵZ+ để P dương nhỏ nhất


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Korosensei: 29-08-2016 - 20:29


#4
HoangKhanh2002

HoangKhanh2002

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 483 Bài viết

Vì P>0 $\Leftrightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+y+z}< \frac{1}{2}$

Đặt $A=\frac{1}{x}+\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+y+z}$ thì $P=\frac{1}{2}-A$

Do đó: Pmin $\Leftrightarrow$ Amax  $\Leftrightarrow$ x nhỏ nhất

Ta có : $\frac{1}{x}<\frac{1}{2} \Leftrightarrow x>2\Leftrightarrow x \geq 3$

Do đó: x nhỏ nhất khi x=3

Khi x=3 $\Rightarrow A=\frac{1}{3}+\frac{1}{3+y}+\frac{1}{3+y+z}<\frac{1}{2}\Rightarrow \frac{1}{3+y}+\frac{1}{3+y+z}<\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi nên Amax khi y nhỏ nhất

 Mà $\frac{1}{3+y}<\frac{1}{6}\Leftrightarrow 3+y>6\Leftrightarrow3+y\geq 7 \Leftrightarrow y \geq 4$

Suy ra y nhỏ nhất bằng 4

 Khi y=4 $\Rightarrow \frac{1}{3+y}+\frac{1}{3+y+z}<\frac{1}{6} \Leftrightarrow \frac{1}{7}+\frac{1}{7+z}<\frac{1}{6}\Leftrightarrow \frac{1}{7+z}<\frac{1}{42}$

Vì A = $\frac{1}{3}+\frac{1}{7}+\frac{1}{7+z}$ nên Amax khi z nhỏ nhất

Ta có: $\frac{1}{7+z}<\frac{1}{42}\Leftrightarrow 7+z>42 \Leftrightarrow 7+z\geq43 \Leftrightarrow z\geq 36$

Suy ra z nhỏ nhất bằng 36

Vậy Pmin$=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}-\frac{1}{7}-\frac{1}{43}$







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bất đẳng thức và cực trị

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh