Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $M=\frac{x^2+1}{y^2+1}+\frac{y^2+1}{z^2+1}+\frac{z^2+1}{x^2+1}$

bất đẳng thức

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
nguyenquangtruonghktcute

nguyenquangtruonghktcute

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 61 Bài viết

 Cho x,y,z là ba số thực không âm thỏa mãn x+y+z=1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 

$M=\frac{x^2+1}{y^2+1}+\frac{y^2+1}{z^2+1}+\frac{z^2+1}{x^2+1}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenquangtruonghktcute: 29-08-2016 - 22:37


#2
nguyenquangtruonghktcute

nguyenquangtruonghktcute

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 61 Bài viết

Không mất tính tổng quát, giả sử $x= \max\left \{ x,y,z \right \}$

Ta có: 

$M\leq x^{2}+y^{2}+2+\frac{1}{x^{2}+1}+\frac{z^{2}}{x^{2}+1}\\\leq x^{2}+y^{2}+z^{2}+2+\frac{1}{x^{2}+1}\\\leq x^{2}+\left ( y+z \right )^{2}+2+\frac{1}{x^{2}+1}\\=2x^{2}-2x+3+\frac{1}{x^{2}+1}$

 

Vậy ta chỉ cần chứng minh:   $2x^{2}-2x+3+\frac{1}{x^{2}+1}\leq \frac{7}{2}$         $\left ( * \right )$

 

Thật vậy, BĐT trên tương đương với:

$4x^{4}-4x^{3}+3x^{2}-4x+1\leq 0\\\Leftrightarrow \left ( 4x^{3}+3x-1 \right )\left ( x-1 \right )\leq 0$

 

Vì $x= \max\left \{ x,y,z \right \}$ nên $x\in \left [ \frac{1}{3};1 \right ]$, do đó:

$\left\{\begin{matrix} 4x^{3}+3x-1\geq 0 & \\ x-1\leq 0 & \end{matrix}\right.$

 

$\Rightarrow \left ( * \right )$ luôn đúng

 

Vậy $\max M=\frac{7}{2}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=1 & & \\ y=0 & & \\ z=0 & & \end{matrix}\right.$ và các hoán vị



#3
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

 Cho x,y,z là ba số thực không âm thỏa mãn x+y+z=1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 

$M=\frac{x^2+1}{y^2+1}+\frac{y^2+1}{z^2+1}+\frac{z^2+1}{x^2+1}$

Lời giải. Từ giả thiết suy ra $0\leqslant x,y,z\leqslant 1\Rightarrow x^2+1,y^2+1,z^2+1\leqslant 2$

Ta có: $\frac{x^2+1}{y^2+1}+\frac{y^2+1}{z^2+1}+\frac{z^2+1}{x^2+1}=\left [ (x^2+1)-\frac{y^2(x^2+1)}{y^2+1} \right ]+\left [ (y^2+1)-\frac{z^2(y^2+1)}{z^2+1} \right ]+\left [ (z^2+1)-\frac{x^2(z^2+1)}{x^2+1} \right ]\leqslant (x^2+y^2+z^2+3)-\frac{(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)+(x^2+y^2+z^2)}{2}\leqslant (x^2+y^2+z^2+3)-\frac{x^2+y^2+z^2}{2}=\frac{x^2+y^2+z^2}{2}+3=\frac{(x+y+z)^2-2(xy+yz+zx)}{2}+3\leqslant \frac{(x+y+z)^2}{2}+3=\frac{7}{2}$

Đẳng thức xảy ra khi trong 3 số $x,y,z$ có 2 số bằng 0 và 1 số bằng 1


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 15-05-2021 - 20:41

Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bất đẳng thức

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh