Câu 1 : Mình không ghi phần $a,b$ nữa làm một thể nhé .
Ta có nhận xét :
+ Nếu có một số trong dãy bằng $-3$ thì xong
+ Nếu có một số bằng $0$ thì nó chỉ có thể là $a_{1}=0$ , ta tính thử tính thử vài trường hợp $a_{2}=\frac{3}{2}>1$ nên vô lý , vậy không có số hạng nào trong dãy bằng $0$ .
+ Không có số hạng nào trong dãy bằng $-2$
+ Không tồn tại $n$ để $(a_{n},a_{n+1})$ đồng thời dương .
+ Nếu có $a_{n} > -2$ thì $a_{n+1}>0$ nhưng khi đó $0<a_{n+1}<1,0<a_{n}+2<3$ nên vô lý , vậy $a_{n}<-2$
Nếu $a_{1}>-3$ thì $a_{n}>-3$ với $n$ lẻ và $a_{n}<-3$ với $n$ chẵn , ta xét hàm con $g(x) = \frac{3}{\frac{3}{x+2}+2}= \frac{3(x+2)}{2x+7}$ ( đây là lý do xuất hiện số $\frac{-7}{2}$ ) . Với mọi $x>-3$ hoặc $x<-3$ .
Xét
$$g(x)-x=\frac{(1-x)(x+3)}{2x+7}$$
Như vậy nếu ta chứng minh được $x > \frac{-7}{2}$ thì cả hai dãy này tăng giảm và đơn điệu bị chặn nên hội tụ về $-3$ cái này không thể vì một dãy tăng chặn dưới bởi $-3$ và một dãy giảm chặn trên $-3$ không thể hội tụ về $-3$ và ta sẽ có đpcm ( trường hợp $a_{1} < -3$ chứng minh tương tự .
$*$ Chứng minh $a_{n} > \frac{-7}{2}$
Nếu $a_{1} < \frac{-7}{2}$ thì do $a_{2}<-2$ nên $a_{2}(a_{1}+1)>3$ vô lý , vậy $x_{1}> \frac{-7}{2}$
Giả sử khẳng định đúng đến $n$ ta có $\frac{-3}{2}<a_{n}+1<-1$ và $a_{n+1}<\frac{-7}{2}$ nhân lại vô lý , vậy ta có đpcm .
Câu 2 :
Ta gọi $I$ là trung điểm $AH$ , $AH$ giao $BC$ tại $D$ , khi đó ta có một bổ đề quen thuộc là $HP$ vuông góc với $AX$ . Gọi $T$ là trung điểm $AP$ . Ta hiển nhiên có $APYZ$ nội tiếp , theo tính chất đường thẳng gauss ta phải có $YZ$ song $BC$ . Bây giờ có phương tích từ $A$ đến Euler là $AX.AT=AI.AD$ nên chỉ cần chứng minh $T$ thuộc $(XYZ)$ . Gọi $N$ là giao điểm của $YZ$ với $AX$ thì $NX^{2}=NP.NA$ nên chỉ cần có $NA.NP=NT.NX$ nhưng điều này đúng theo hệ thức maclaurin vì hàng $Z(BCXY)=-1$ chiếu lên $AX$ .
Câu 3 :
Từ đẳng thức :
$$a^{2}+b^{2}+c^{2}=\frac{1}{9}((2a+2b-c)^{2}+(2b+2c-a)^{2}+(2c+2a-b)^{2})$$
Ta xét dãy các bộ số $(a_{n},b_{n},c_{n})$ như sau
$$(a_{0},b_{0},c_{0})=(a,b,c)$$
$$(a_{n},b_{n},c_{n})=\frac{1}{3}(2a_{n-1}+2b_{n-1}-c_{n-1},2b_{n-1}+2c_{n-1}-a_{n-1},2a_{n-1}+2c_{n-1}-b_{n-1})$$
Ta thấy bất biến ở đây là :
$$a_{n}^{2}+b_{n}^{2}+c_{n}^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}$$
Ngoài ra dãy này là một dãy các số hữu tỷ mà mẫu có dạng $3^{a}$ với $a$ là số tự nhiên tùy ý , nghĩa là $v_{3}$ ở mẫu có thể tăng tùy ý .
Quay trở lại bài toán , nếu một trong ba số $a,b,c$ không là bội của $3$ thì ta có ngay đpcm , như thế thì chỉ cần xét trường hợp cả ba số chia hết cho $3$ cũng suy ra $d$ chia hết cho $3$ .
Nếu trong ba số $v_{3}(a),v_{3}(b),v_{3}(c)$ không bằng nhau , nghĩa là có số nhỏ nhất thì đến lúc nào đó phép biến đổi sẽ triệt tiêu , cụ thể là sau $v_{3}(min)$ phép biến đổi .
Nếu $v_{3}(a)=v_{3}(b)=v_{3}(c)$ thì ta cũng thu được một lúc nào đó cả ba số không chia hết $3$ .
Vậy ta có đpcm .
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 02-09-2016 - 20:48
