Đến nội dung

Hình ảnh

$f(xf(y))+y+f(x)=f(f(x+y))+yf(x)$

- - - - - lớp 10

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
Chaosemperordragon

Chaosemperordragon

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 29 Bài viết

Tìm tất cả các hàm số $f : R \to R$ thỏa mãn 

$$ f(xf(y))+y+f(x)=f(f(x+y))+yf(x) $$

với mọi $x,y \in R$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 01-09-2016 - 21:27


#2
bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 1667 Bài viết

Kí hiệu $P(x,y)$ là phép thế vào phương trình

$$P(0,y)=>y+2f(0)=f(f(y))+yf(0)$$

$$P(x,0)=>f(xf(0))+f(x)=f(f(x))$$

$$P(0,0)=>2f(0)=f(f(0))$$

Giờ từ đẳng thức thứ nhất xét các trường hợp 

$f(0)=0:$

Khi đó ta có $f(f(y))=y$ và $f(x)=f(f(x))$ vậy ta có $f(x)=x$ với mọi $x \in R$

$f(0)=1:$ 

Khi đó ta có $f(1)=2$ và $2f(0)=2=f(f(y)),2f(x)=f(f(x))=2$ hay $f(x)=1$ với mọi $x\in R$ thử lại hàm này không thỏa mãn 

Nếu $f(0)$ khác $0,1$ thì đặt $f(0)=a$ ta có : $f(a)=2a$

$$y(1-a)+2a=f(f(y))$$

Đẳng thức này cho ta $f$ là một song ánh trên $R$ nghĩa là tồn tại $b$ mà $f(b)=0$ 

Cho $x=b$ ta có $f(ab)=f(0)$ hay $ab=0$ khi này do $a$ khác $0$ nên $b=0$ , nhưng $f(0)$ lại khác $0$ , vô lý

Vậy $f(x)=x$ với mọi $x \in R$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 01-09-2016 - 21:39

$$[\Psi_f(\mathbb{1}_{X_{\eta}}) ] = \sum_{\varnothing \neq J} (-1)^{\left|J \right|-1} [\mathrm{M}_{X_{\sigma},c}^{\vee}(\widetilde{D}_J^{\circ} \times_k \mathbf{G}_{m,k}^{\left|J \right|-1})] \in K_0(\mathbf{SH}_{\mathfrak{M},ct}(X_{\sigma})).$$


#3
supermember

supermember

    Đại úy

  • Hiệp sỹ
  • 1644 Bài viết

Em giải thích rõ lại 2 cái dòng cuối, từ đâu mà có : $ f(ab) = f(0)$?


Khi bạn là người yêu Toán, hãy chấp nhận rằng bạn sẽ buồn nhiều hơn vui :)

#4
bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 1667 Bài viết

Em giải thích rõ lại 2 cái dòng cuối, từ đâu mà có : $ f(ab) = f(0)$?

Cho $x=b$ vào $f(xf(0))+f(x)=f(f(x))$ thì $f(b.a)+f(b)=f(f(b))=f(0)$ do song ánh nên $ab=0$ ạ :icon6:


$$[\Psi_f(\mathbb{1}_{X_{\eta}}) ] = \sum_{\varnothing \neq J} (-1)^{\left|J \right|-1} [\mathrm{M}_{X_{\sigma},c}^{\vee}(\widetilde{D}_J^{\circ} \times_k \mathbf{G}_{m,k}^{\left|J \right|-1})] \in K_0(\mathbf{SH}_{\mathfrak{M},ct}(X_{\sigma})).$$






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: lớp 10

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh