$8x^3-4x^2-4x+1=0$
nghiệm là $cos\frac{\pi }{7}; cos\frac{3\pi }{7}; cos\frac{9\pi }{7}$
Thêm một cách tư duy khác ngoài cách thêm nhân tử $x+1$ ở topic http://diendantoanho...t19x2ysqrt1y21/.
Ta giải PT bậc ba bằng cách chỉ ra PT có đủ ba nghiệm trong $[-1,1].$
Đặt $x=\cos{t},$ ta có PT
$$8\cos^3{t} - 4\cos^2{t} - 4\cos{t} + 1=0.$$
Đưa toàn bộ về theo $\cos{t}, \cos{(2t)}, \cos{(3t})$:
$$2\cos{(3t)} - 2\cos{(2t)} + 2\cos{t} =1.$$
Để tính "tổng ở vế trái, ta dùng PP sai phân. Để thấy rõ hơn đó là tổng, ta viết lại phương trình như sau
$$2\cos{(3t')} + 2\cos{(2t')} + 2\cos{t'}=-1,\quad\quad\quad (***)$$
với $t'=t+\pi.$
Để tính tổng $\cos{(3t')}+\cos{(2t')}+\cos{t'}$ ta nhân thêm $\sin{\frac{t'}{2}}.$
PT (***) $\Rightarrow \left(\sin\frac{7t'}{2}-\sin\frac{5t'}{2}\right)+\left(\sin\frac{5t'}{2}-\sin\frac{3t'}{2}\right)+\left(\sin\frac{3t'}{2}-\sin\frac{t'}{2}\right)=-\sin{\frac{t'}{2}}.$
$$\iff \sin\frac{7t'}{2}=0.$$
(...)
Một con đường đến đích khá tự nhiên!