Chủ đề này có 5 trả lời

[anomynous98]

Giải phương trình 

$\sqrt[3]{x^2+4}$ - $\sqrt{x^3-4}$ +x-2=0

[Zeref]

Giải phương trình 

$\sqrt[3]{x^2+4}$ - $\sqrt{x^3-4}$ +x-2=0

PT ban đầu

$<=> (x-2)  \left[  \frac{x+2}{\sqrt[3]{(x^2+4)^2}+\sqrt[3]{8x^2+32}+4} - \frac{x^2+2x+4}{2+\sqrt{x^3-4}} +1 \right]=0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Zeref: 04-09-2016 - 23:07

[anomynous98]

$\sqrt[3]{x^2+4}-\sqrt{x^3-4} +x-2=0 <=> \sqrt[3]{x^2+4}-x= \sqrt{x^3-4} -(2x-2)$ (1)

x^3 >4 => x>1 => $\sqrt{x^3-4} +2x-2 > 0$  

(1)<=> $\frac{x^3-x^2-4}{\sqrt[3]{(x^2+4)^2}+x.\sqrt[3]{x^2+4}+x^2} + \frac{x^3-4x^2+8x-8}{\sqrt{x^3-4} +2x-2} =0$

<=>$\frac{(x-2)(x^2+x+2)}{\sqrt[3]{(x^2+4)^2}+x.\sqrt[3]{x^2+4}+x^2} + \frac{(x-2)(x^2+2x+4)}{\sqrt{x^3-4} +2x-2} =0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anomynous98: 04-09-2016 - 23:44

[leminhnghiatt]

Giải phương trình 

$\sqrt[3]{x^2+4}$ - $\sqrt{x^3-4}$ +x-2=0

ĐK: $x \geq \sqrt[3]{4}$

 

$\iff (\sqrt[3]{x^2+4}-\dfrac{x}{2}-1)+(\dfrac{3x}{2}-1-\sqrt{x^3-4})=0$

 

$\iff \dfrac{-(x-2)(x^2+12)}{2A}-\dfrac{(x-2)(x^2-\dfrac{1}{4}x+\dfrac{5}{2})}{B}=0$

 

$\iff (x-2)(\dfrac{x^2+12}{2A}+\dfrac{x^2-\dfrac{1}{4}x+\dfrac{5}{2}}{B})=0$

 

Với $A=\sqrt[3]{x^2+4}^2+(\dfrac{x}{2}+1)\sqrt[3]{x^2+4}+(\dfrac{x}{2}+1)^2 ;\ B=\dfrac{3x}{2}-1+\sqrt{x^3-4}$ 

 

Dễ thấy phần trong ngoặc luông dương với $x \geq \sqrt[3]{4}$

 

Vậy $x=2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leminhnghiatt: 04-09-2016 - 23:51

[An Infinitesimal]

Zeref, anomynous98 và  leminhnghiatt đã đưa ra các cách chọn liên hiệp ("bậc nhất").

Câu hỏi đặt ra: Ta nên chọn bộ số a, b như thế nào sẽ tốt hơn thay vì chỉ cần $\sqrt[3]{x^2+4}=ax+b$ khi $x=2.$

(Hiển nhiên có vô số bộ $(a,b)$, ta chọn bộ nào "tốt hơn"?)

[An Infinitesimal]

ĐK: $x \geq \sqrt[3]{4}$

 

$\iff \left[\sqrt[3]{x^2+4}-(ax+2-2a)\right]+\left[ (a+1)x-2a-\sqrt{x^3-4}\right]=0$

 

$\iff \dfrac{-(x-2)(a^3x^2 + (- 4a^3 + 6a^2 - 1)x + 4a^3 - 12a^2 + 12a - 2)}{A}-\dfrac{(x-2)(x^2 - (a^2 + 2a - 1)x + 2a^2 + 2)}{B}=0$

(với $A=\sqrt[3]{x^2+4}^2+(ax+2-2a)\sqrt[3]{x^2+4}+(ax+2-2a)^2 ; B=(a+1)x-2a++\sqrt{x^3-4}$ )

 

$\iff (x-2) \left[ \dfrac{a^3x^2 + (- 4a^3 + 6a^2 - 1)x + 4a^3 - 12a^2 + 12a - 2}{A}+\dfrac{x^2 - (a^2 + 2a - 1)x + 2a^2 + 2}{B}\right]=0$

 

Tiếp theo, mọi người cùng đề xuất ý tưởng chọn $a$ (ý tưởng chọn $a$ tốt) để phần trong ngoặc vuông luôn dương với mọi $x\ge \sqrt[3]{4}.$

Tất nhiên phương pháp thử sai là một cách nhưng không "đẹp". Đối với bài toán cụ thể này, ta có thể chọn (nhưng không chắc tốt): chọn $a$ sao cho B>0 (A đã luôn dương), $a^3x^2 + (- 4a^3 + 6a^2 - 1)x + 4a^3 - 12a^2 + 12a - 2, x^2 - (a^2 + 2a - 1)x + 2a^2 + 2$ luôn dương.