Đến nội dung

Hình ảnh

ĐỀ THI LUYỆN HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 7 trả lời

#1
TanSan26

TanSan26

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 55 Bài viết

ĐỀ THI LUYỆN HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA

(Nguồn: Anh Trần Quốc Hưng - Lê Quý Đôn Đà Nẵng)

Ngày 1: 

Bài 1: Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} x^2+y^2+z^2+2xy-zx-zy=3\\x^2+y^2+yz-zx-2xy=-1  \end{matrix}\right.$

Bài 2: Gọi $x$ là số thực bất kì. Xét dãy số $(a_{m,n})$ xác định bởi:$\left\{\begin{matrix} a_{i,0}=\frac{x}{2^{i}}\\a_{i,(j+1)}=a_{i,j}^2+2a_{i,j}  \end{matrix}\right.(i,j=0,1,2,...)$.

Tìm $lim_{n\to +\infty} a_{n,n}$.

Bài 3: Cho $\triangle{ABC}$ nội tiếp đường tròn tâm $(O)$ và có đường cao $AH$. Gọi $T,T'$ lần lượt là chân đường cao hạ từ $H$ xuống $AB,AC$. Chứng minh rằng: $AC=2OT\iff AB=2OT'$.

Bài 4: Tìm tất cả các tập hợp hữu hạn $A\subset N^{*}$ sao cho tồn tại tập hữu hạn $B\subset N^{*}$ thỏa mãn: $A\subset B$ và $\sum_{x\in B}x=\sum_{x\in A}x^2$.

Ngày 2:

Bài 5: Cho các số thực $a,b,c$ thỏa mãn: $a\ge 2,b\ge 1,c\ge 6$ và $a+b+c=10$. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức:

$F=a^3b^2c$.

Bài 6: Có tồn tại hay không cấp số cộng vô hạn $(a_n)\subset N^{*}$ thỏa mãn với mọi $n\in N^{*}$ thì: $a_n+a_{n+1}+...+a_{n+9}|a_na_{n+1}...a_{n+9}$.

Bài 7: Ta viết các số từ $0$ đến $9$ vào các ô của một bàn cờ $10X10$, mỗi số được sử dụng đúng $10$ lần. Chứng minh rằng tồn tại một hàng hoặc một cột của bàn cờ chứa nhiều hơn $3$ số đôi một phân biệt. 


                                                                                                                                                                                                                                                A vẩu


#2
Hai2003

Hai2003

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 225 Bài viết

Lấy $PT(1)+3PT(2)$ ta được $4x^2+4y^2+z^2-4xy+2yz-4zx=0$

$\Leftrightarrow (y+z-2x)^2+3y^2=0$

Suy ra $y=0$ và $y+z-2x=0\implies z=2x$

Thế vào $PT(2)$ ta có $x^2-2x^2=-1\implies \left[\begin{array}{ll}x=1;\ z=2\\ x=-1;\ z=-2\end{array}\right.$

Vậy PT có 2 nghiệm là $\color{red}{(1;0;2)},\ \color{blue}{(-1;0;-2)}$



#3
bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 1667 Bài viết

Bài $2$ : 
Theo công thức đề bài

$$a_{i,(j+1)}+1=(a_{i,j}+1)^{2}=(a_{i,j-1},+1)^{2^{2}}=(a_{i,j-2}+1)^{2^{3}}=....(a_{i,j-j}+1)^{2^{j+1}}=(\frac{x}{2^{i}}+1)^{2^{j+1}}$$

Bây giờ cho $i=j+1$ ta có 

$$lim_{i \to \infty} ( \frac{x}{2^{i}}+1)^{2^{i}} = e^{x}$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 07-09-2016 - 10:05

$$[\Psi_f(\mathbb{1}_{X_{\eta}}) ] = \sum_{\varnothing \neq J} (-1)^{\left|J \right|-1} [\mathrm{M}_{X_{\sigma},c}^{\vee}(\widetilde{D}_J^{\circ} \times_k \mathbf{G}_{m,k}^{\left|J \right|-1})] \in K_0(\mathbf{SH}_{\mathfrak{M},ct}(X_{\sigma})).$$


#4
quochungtran

quochungtran

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 5 Bài viết

Câu 6)

         Giả sử tồn tại cấp số cộng vô hạn (an)  thỏa mãn an + an+1 + ...+ an+9 |  anan+1...an+9  (*) với mọi n $\epsilon$ N*. 

 a1 = a.   an+1 = an + d (d $\neq$ 0 ) d xác định

Suy ra    an+2 = an + 2d

               ...

              an+9  = an + 9d

                (*) tương đương 10an + 45d | an(an + d)( an + 2d)...( an + 9d).

<=>                                     10an + 45d | 10an 10(an + d)  10( an + 2d) ... 10( an + 9d).

<=>                                     10an + 45d | 10an (10an + 10d) ( 10an + 20d)... ( 10an + 90d).

lại có     10an + kd $\equiv$  (k-45)d (mod 10an + 45d) ,  k=0,10,..., 90.

suy ra   10an (10an + 10d) ( 10an + 20d)... ( 10an + 90d)  $\equiv$  $\prod$ (k-45) d10 ( mod 10an + 45d).    vs k=0,10,..., 90.

       <=>    | $\prod$ (k-45) d10  |  $\equiv$ 0 ( mod |10an + 45d |). vs k=0,10,..., 90.

vì  dãy (an) tăng hoặc giảm và có vô hạn số nên tồn tại n0  đủ lớn sao cho |10ano + 45|  >    | $\prod$ (k-45) d10 |  vs k=0,10,..., 90.

suy ra |10an + 45|  không là ước của  | $\prod$ (k-45) d10 | ( mâu thuẫn ) 

Vậy không tồn tại cấp số cộng  (an)  thỏa mãn


~O)  ~O)  ~O)  :excl:  :excl:  :excl:  ~O)  ~O)  ~O)  :ukliam2:


#5
TanSan26

TanSan26

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 55 Bài viết

Bài 5: $(a;b;c)\rightarrow (x+2,y+1,z+6),f(x,y,z)=(x+2)^3(y+1)^2(z+6),g(x,y,z)=x+y+z-1,x,y,z\ge 0$.

Từ giả thiết: $a+b+c=10\implies g(x,y,z)=0\implies x,y,z\in [0;1]$.

Sử dụng phương pháp hàm số, ta chứng minh được:

$f(0,0,1)\le f(x,y,z)\le f(\frac{2}{5},\frac{3}{5},0)$.

Vậy $\left\{\begin{matrix} F_{min}=f(0,0,1)=56\iff (a;b;c)=(2,1,7)\\F_{max}=f(\frac{2}{5},\frac{3}{5},0)=\frac{663552}{3125}\iff (a,b,c)=(\frac{12}{5},\frac{8}{5},6)  \end{matrix}\right.$


                                                                                                                                                                                                                                                A vẩu


#6
CandyPanda

CandyPanda

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 64 Bài viết

Bài hình bạn xem lại xem, hình như bị sai



#7
redfox

redfox

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 100 Bài viết

Bài 7: Gọi:

-$C_i, R_i$ lần lượt là số các số phân biệt trong cột, hàng thứ $i$.

-$c_i, r_i$ lần lượt là số các cột, hàng chứa $i$.

Ta có:    

-$\sum_{i=0}^{9}C_i=\sum_{i=0}^{9}c_i, \sum_{i=0}^{9}R_i=\sum_{i=0}^{9}r_i$.

-$c_ir_i\geq 10$ (giao của $c_i$ cột và $r_i$ hàng chứa tất cả số $i$).

-$c_i+r_i\geq 2\sqrt{c_ir_i}\geq 2\sqrt{10}$ (AM-GM).

Từ đó $\sum_{i=0}^{9}(C_i+R_i)\geq 20\sqrt{10}$, do đó tồn tại ít nhất một số trong $20$ số $C_i, R_i$ lớn hơn $\sqrt{10}$ hay lớn hơn $3$.

(Q.E.D)



#8
sptoanchien

sptoanchien

    Lính mới

  • Thành viên
  • 2 Bài viết

Lấy $PT(1)+3PT(2)$ ta được $4x^2+4y^2+z^2-4xy+2yz-4zx=0$

$\Leftrightarrow (y+z-2x)^2+3y^2=0$

Suy ra $y=0$ và $y+z-2x=0\implies z=2x$

Thế vào $PT(2)$ ta có $x^2-2x^2=-1\implies \left[\begin{array}{ll}x=1;\ z=2\\ x=-1;\ z=-2\end{array}\right.$

Vậy PT có 2 nghiệm là $\color{red}{(1;0;2)},\ \color{blue}{(-1;0;-2)}$

Bài này có thể dùng tam thức bậc hai sẽ tự nhiên hơn

Ta có Phương trình (1): $(x+y)^2-z(x+y)+z^2-3=0$ có nghiệm nếu $z^2-4(z^2-3)$ Suy ra $z^2 \leq 4$

Tương tự phương trình (2) ta sẽ tìm được $z^2\geq 4$ Do đó ta tìm được $z=2$ hoặc $z = -2$






2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh