Chủ đề này có 1 trả lời

[Susanoo]

3.$\left\{\begin{matrix} x^{2}+\frac{x}{x+1}=(y+2)\sqrt{(x+1)(y+1)} & \\ 3x^{2}-8x-3=4(x+1)\sqrt{y+1} & \end{matrix}\right.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Susanoo: 08-09-2016 - 20:43

[L Lawliet]

3.$\left\{\begin{matrix} x^2+\frac{x}{x+1}=(y+2)\sqrt{(x+1)(y+1)} \\ 3x^2-8x-3=4(x+1)\sqrt{y+1} & \end{matrix}\right.$

Lời giải.

Điều kiện xác định: $x>-1$, $y\geq -1$.

$$x^{2}+\dfrac{x}{x+1}=\left ( y+2 \right )\sqrt{\left ( x+1 \right )\left ( y+1 \right )}$$

$$\Leftrightarrow \dfrac{x^{3}+x^{2}+x}{x+1}=\left ( y+2 \right )\sqrt{\left ( x+1 \right )\left ( y+1 \right )}$$

$$\Leftrightarrow \dfrac{x^{3}+x^{2}+x}{\left ( x+1 \right )\sqrt{x+1}}=\left ( y+2 \right )\sqrt{y+1}$$

$$\Leftrightarrow \left ( \dfrac{x}{\sqrt{x+1}} \right )^{3}+\dfrac{x}{\sqrt{x+1}}=\left ( y+1 \right )\sqrt{y+1}+\sqrt{y+1}$$

Xét hàm $f\left ( t \right )=t^{3}+t$ có $f'\left ( t \right )=3t^{2}+1>0, \ \forall t\in \mathbb{R}$. Do đó phương trình trở thành:

$$f\left ( \dfrac{x}{\sqrt{x+1}} \right )=f\left ( \sqrt{y+1} \right )$$

$$\Leftrightarrow \dfrac{x}{\sqrt{x+1}}=\sqrt{y+1}$$

Thay vào phương trình thứ hai ta được:

$$3x^{2}-8x-3=4x\sqrt{x+1}$$

$$\Leftrightarrow \left ( 2x-1 \right )^{2}=\left ( x+2\sqrt{x+1} \right )^{2}$$