Chủ đề này có 3 trả lời

[L Lawliet]

Bài toán. Giải phương trình:

$$\sqrt{2x-1}+\sqrt{x^2+3}=4$$

Đôi lời:

- Bài toán này đã có ở đây nhưng chưa có lời giải, xin phép được đăng lại để mọi người chú ý và thảo luận.

- Mục đích của việc đăng lại bài này là tiếp nối việc thảo luận bài toán ở đây (đang khá hào hứng nhưng sợ nói nhiều thành spam).

Dĩ nhiên phương trình bậc $3$ và bậc $4$ có cách giải nhưng đôi khi việc giải (bậc $4$) lại quá cồng kềnh và phức tạp nên hi vọng có cách giải nào đó "đẹp" hơn.

Xin hết.

[An Infinitesimal]

Bài toán. Giải phương trình:

$$\sqrt{2x-1}+\sqrt{x^2+3}=4$$

Đôi lời:

- Bài toán này đã có ở đây nhưng chưa có lời giải, xin phép được đăng lại để mọi người chú ý và thảo luận.

- Mục đích của việc đăng lại bài này là tiếp nối việc thảo luận bài toán ở đây (đang khá hào hứng nhưng sợ nói nhiều thành spam).

Dĩ nhiên phương trình bậc $3$ và bậc $4$ có cách giải nhưng đôi khi việc giải (bậc $4$) lại quá cồng kềnh và phức tạp nên hi vọng có cách giải nào đó "đẹp" hơn.

Xin hết.

Lại là một vấn đề khó.... do đó đưa ra "bình luận", đưa ra các móc xích trước rồi tính tiếp sau đó!

 

Liên kết PT có thể đưa về lớp PT như bên dưới.

"Điều kiện": $\frac{1}{2} \le x \le \frac{17}{2} .$ 

PT được viết lại 

\[ \sqrt{x^2+3}= 4-\sqrt{2x-1}. \]

\[\iff \sqrt{2x-1}= -\frac{x^2-2x-13}{8}.\]

Do đó PT thuộc lớp...  $\sqrt{ax+b}=cx^2+dx+e.$

 

http://diendantoanho...xsqrtfrac4x928/

 

 

Đặt $y=x-1$ (để PT gọn hơn). PT trở thành

\[\sqrt{2y+1}= \frac{13-y^2}{8}.\]

 

Giải theo hướng giải lớp PT trên hoặc giải  phương trình theo ẩn phụ $t=\sqrt{2x-1}$ đều phải giải phương trình bậc 3 hoặc bậc 4 "phức tạp".

Đưa về hệ theo 2 ẩn $u=\sqrt{2x-1}$ và $y$.  Tất nhiên, nếu nhìn 2 ẩn này thì cũng không khác gì so với 2 hướng đã đề cập... Tuy nhiên, mình dẫn ra sự đơn giản về hình thức về mặt hình học nhưng lại phức tạp về việc giải bài toán:

$$\begin{cases} &\frac{y^2}{8}+u=\frac{13}{8}, \\ & u^2-2y=1.\end{cases}$$

Hệ trên chính là giao điểm của hai Parabol. Vấn đề về giao điểm của hai đường tròn, hay giao điểm của đường tròn với Ellip đã được thảo luận rất nhiều trong nhiều topic khác nhau như

 

http://diendantoanho...g-trình/page-53

(Gõ thiếu $y^2$ ở PT thứ 2 của hệ!)

 

http://diendantoanho...endmatrixright/

 

Bài 522, 501, 498, 489, 482: http://diendantoanho...g-trình/page-59

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vanchanh123: 09-09-2016 - 08:40

[NTA1907]

Bài toán. Giải phương trình:

$$\sqrt{2x-1}+\sqrt{x^2+3}=4$$

Đôi lời:

- Bài toán này đã có ở đây nhưng chưa có lời giải, xin phép được đăng lại để mọi người chú ý và thảo luận.

- Mục đích của việc đăng lại bài này là tiếp nối việc thảo luận bài toán ở đây (đang khá hào hứng nhưng sợ nói nhiều thành spam).

Dĩ nhiên phương trình bậc $3$ và bậc $4$ có cách giải nhưng đôi khi việc giải (bậc $4$) lại quá cồng kềnh và phức tạp nên hi vọng có cách giải nào đó "đẹp" hơn.

Xin hết.

Nghiệm bài này cũng không được đẹp lắm. Theo em nghĩ thì đề bài này chắc là chưa đúng

[An Infinitesimal]

Điều mà L Lawliet muốn là cần tìm ra một cách xác định nghiệm "đơn giản" (Mình đoán thế!) thay vì phải giải theo hướng giải  PT bậc 4, 3 tổng quát.

Một thí dụ minh họa: 

Giải PT

$8x^3-4x^2-4x+1=0.$

Nếu giải bằng con đường giải PT bậc ba tổng quát thì nghiệm khá xấu xí nhưng đi theo một con đường khác thì dẫn đến nghiệm ở một hình thức đơn giản: $cos\frac{\pi }{7}; cos\frac{3\pi }{7}; cos\frac{9\pi }{7}.$

 

Xem http://diendantoanho...3-8x3-4x2-4x10/